Soluzioni complesse di una equazione
salve a tutti, scusate se faccio domande a random ma ho alle calcagna il famoso esame 
in una prova d'esame il prof chiede di studiare le soluzioni complesse della seguente equazione
$ z^4|z| = -i $
considerando dai testi che $ z = x+iy $ e $ |z| = sqrt(x^2+y^2) $ come dovrei comportarmi?
finora ho fatto (pochi) esercizi strettamente numerici, non ho trovato esempi simili a questo
vorrei capire come sviluppare questa equazione passaggio per passaggio per capire il procedimento
grazie in anticipo a chi mi risponderà
in una prova d'esame il prof chiede di studiare le soluzioni complesse della seguente equazione
$ z^4|z| = -i $
considerando dai testi che $ z = x+iy $ e $ |z| = sqrt(x^2+y^2) $ come dovrei comportarmi?
finora ho fatto (pochi) esercizi strettamente numerici, non ho trovato esempi simili a questo
vorrei capire come sviluppare questa equazione passaggio per passaggio per capire il procedimento
grazie in anticipo a chi mi risponderà
Risposte
Prova ad usare la rappresentazione esponenziale $ z=rhoe^(itheta) $ , così ottieni l'equazione nella forma $ rho^4e^(4itheta)rho=-i $ cioè $ rho^5e^(4itheta)=e^(i3/2pi) $ ...
chiedo perdono... potresti indicarmi una fonte dove studiare questo procedimento... mi è completamente nuovo
Penso che si trovi in qualunque libro che tratti i numeri complessi... basta conoscere la scrittura in forma esponenziale di un numero complesso.
Sia $ zinCC $ , $ theta=Arg_([0;2pi))(z) $ e $ rho=|z| $ , allora $ z $ si può scrivere nella forma $ z=rhoe^(itheta) $ e continuano a valere tutte le proprietà dell'esponenziale reale: $ z_1z_2=rho_1rho_2e^(i(theta_1+theta_2) $ e $ z_1/z_2=rho_1/rho_2e^(i(theta_1-theta_2) $ .
Tornando all'equazione $ rho_1e^(itheta_1)=rho_2e^(itheta_2) $ \( \Longleftrightarrow \) $ rho_1=rho_2^^ theta_1=theta_2+2pik $ .
Sia $ zinCC $ , $ theta=Arg_([0;2pi))(z) $ e $ rho=|z| $ , allora $ z $ si può scrivere nella forma $ z=rhoe^(itheta) $ e continuano a valere tutte le proprietà dell'esponenziale reale: $ z_1z_2=rho_1rho_2e^(i(theta_1+theta_2) $ e $ z_1/z_2=rho_1/rho_2e^(i(theta_1-theta_2) $ .
Tornando all'equazione $ rho_1e^(itheta_1)=rho_2e^(itheta_2) $ \( \Longleftrightarrow \) $ rho_1=rho_2^^ theta_1=theta_2+2pik $ .
salve, giusto per completezza concludo la risoluzione, ditemi cosa ne pensate
$ z^4|z|=-i =>
{ (z^5=-i ),( z^5=i ):} $
e poi applico questa formula per trovare le 4 radici
$ z = root(5)(1)[cos((pi/2+2npi)/5)+isin((pi/2+2npi)/5)] $
per n=0,1,2,3,4
dovrei trovare 4 soluzioni (la quinta è appunto z=-i)
devo rifare poi la stessa procedura per z^5=+1
cosa ne pensate?
$ z^4|z|=-i =>
{ (z^5=-i ),( z^5=i ):} $
e poi applico questa formula per trovare le 4 radici
$ z = root(5)(1)[cos((pi/2+2npi)/5)+isin((pi/2+2npi)/5)] $
per n=0,1,2,3,4
dovrei trovare 4 soluzioni (la quinta è appunto z=-i)
devo rifare poi la stessa procedura per z^5=+1
cosa ne pensate?
ragazzi stavo facendo questo esercizio, che ne pensate dello svolgimento?
$ (z^3+i)|z|=0 => z^3|z|=-i|z| $
divido tutto per |z|
$ z^3=-i => z^3=i^3 $
quindi z=i
$ (z^3+i)|z|=0 => z^3|z|=-i|z| $
divido tutto per |z|
$ z^3=-i => z^3=i^3 $
quindi z=i
per l'altro esercizio mi son incasinato da solo, ma ho pensato che, se $ z|z|=z^2 $
$ z^4|z|=-i => z^5=-i $
mi calcolo modulo e angolo e mi trovo le 5 radici
che ne pensate?
$ z^4|z|=-i => z^5=-i $
mi calcolo modulo e angolo e mi trovo le 5 radici
che ne pensate?
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