Soluzioni complesse dell'equazione

[lucaxy]

ciao a tutti, mi sto esercitando con i numeri complessi per l'esame e ho trovato problemi con questo esercizio

questa è l'eqazione di cui devo calcolare tutte le soluzioni complesse

$ (z-1)^3=2 $

ho iniziato in questo modo

$ z=root(3)(2) +1$

Ora le altre due soluzioni complesse come le trovo ?

perchè anche se scrivo

$ z= (x+iy) $ non mi semplifico le cose ... perchè $ (x+iy-1)^3=2 $

grazie mille per l'aiuto

[ciampax]

Mai sentito parlare della formula di de Moivre, dell'espressione di un numero complesso in forma trigonometrica (o esponenziale) e della formula per trovare le radici $n$-ime di un numero complesso?

In parole povere: mai messo mano ad un testo di teoria?

[lucaxy]

si l'ho vista ma non sono riuscito a capire come applicarla ...

come faccio per passare dalla formula che ho a quella di de Moivre?

il problema poi sarebbe quello di calcolare l'angolo giusto ?


e il ρ?

[lucaxy]

potrebbero essere queste le soluzioni ?


$z= root(3)(2)(cos(π+2kπ)/3 + i sen (2kπ)/3) $

da cui ricavo

$z1= root(3)(2)(root()(3))/2+1$

$z2=-root(3)(2)root()(3)/2-1/2+i$

$z3=root(3)(2)+1$

ottenute con k=0 K=1 K=2

[ciampax]

Puoi scrivere [tex]$2=2(\cos 0+i\sin 0)$[/tex] per cui hai le tre soluzioni

[tex]$z_k=1+\sqrt[3]{2}\left[\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\right],\qquad k=0,1,2$[/tex]

[lucaxy]

scusa ma il Θ come lo ricavo ?

la formula non dovrebbe essere

$cos (Θ+2kπ)/n+i sen (Θ+2kπ)/n$


ti chiedo queste cose solo per chiarire i miei dubbi

[lucaxy]

per passare poi alla forma esponenziale ?

[ciampax]

Un numero reale ha la parte immaginaria pari a zero, quindi $\sin\theta=0$ per cui, o $\theta=0$ oppure $\theta=\pi$. Visto che $\cos\theta=-1$, per ottenere il valore $2$ che è positivo devi avere per forza $\theta=0$.

Ti ribadisco una cosa, però: se non studi, io posso spiegarti il mondo, tu non capirai mai un cippa!

[lucaxy]

il problema è che io ho provato a studiarli , nel senso ho letto gli appunti del nostro professore che ha messo in rete ( ma data la sua spiegazione a lezione a dir poco incomprensibile) non ho capito nulla ne tantomeno si capisce qualcosa dai suoi appunti, quindi ho pensato di cercare di capire qualcosa dall'esempio

[ciampax]

Non è sicuramente la strada migliore per provare a lavorare con i numeri complessi quella di partire da un esempio senza prima aver compreso la loro "struttura" e le proprietà che hanno quali "numeri", appunto. La cosa migliore è che tu cerchi, prima di tutto, di comprendere queste relazioni e poi guardi come affrontare gli esercizi. Senza la formula per il calcolo delle radici, la gran parte delle equazioni complesse non sono una cosa "facile" da digerire.

[lucaxy]

ho torvato dei buoni appunti sul sito per i numeri complessi e le idee ora sono molto più chiare di prima .... ho capito quello che dicevi riguardo la parte immaginaria =0;

in forma esponenziale i risultati sono questi se ho capito bene :

$ root(3)(2) e^{i 2/3π} +1 $


$ root(3)(2) e^{i 4/3π} +1 $

[lucaxy]

grazie mille mi sei stato di grande aiuto