Soluzioni complesse
Vorrei chiedere una cosa...
Le soluzioni complesse di una qualsiasi equazione ad esempio l’equazione di una circonferenza di raggio 1 $X^2 + Y^2 = 1$
sono tutte le coppie del tipo $x$ e $y$ reali puri o immaginari puri come ($i$,$2^(1/2)$) oppure ci sono numeri complessi del tipo $a+ib$ con $a$,$b$ parte rispettamente reale e immaginaria che sono soluzioni?
La risposta mi pare ovvia ma non so come inserire soluzioni del “secondo tipo” nell’equazione e sopratutto come rappresentarle nel piano. E questo vale per la rappresentazione di qualsiasi soluzione di equazioni a coefficienti reali o complessi.
Qualcuno sa chiarirmi le idee per favore?
p.s. ho buone conoscenze per quanto riguarda numeri complessi e in genere di analisi 1 di base.
Le soluzioni complesse di una qualsiasi equazione ad esempio l’equazione di una circonferenza di raggio 1 $X^2 + Y^2 = 1$
sono tutte le coppie del tipo $x$ e $y$ reali puri o immaginari puri come ($i$,$2^(1/2)$) oppure ci sono numeri complessi del tipo $a+ib$ con $a$,$b$ parte rispettamente reale e immaginaria che sono soluzioni?
La risposta mi pare ovvia ma non so come inserire soluzioni del “secondo tipo” nell’equazione e sopratutto come rappresentarle nel piano. E questo vale per la rappresentazione di qualsiasi soluzione di equazioni a coefficienti reali o complessi.
Qualcuno sa chiarirmi le idee per favore?
p.s. ho buone conoscenze per quanto riguarda numeri complessi e in genere di analisi 1 di base.
Risposte
Prova $(1/2+i/2,1/2-i/2)$.
EDIT: anzi, questa è una soluzione di $X+Y=1$, basta che ti trovi delle radici di queste coordinate per avere ciò che cerchi.
EDIT: anzi, questa è una soluzione di $X+Y=1$, basta che ti trovi delle radici di queste coordinate per avere ciò che cerchi.
Ma nel piano come rappresento le soluzioni sia reali che complesse?
Nel senso, se prendo in considerazione solo le soluzioni reali mi trovo nel piano $xy$ e fin qui tutto ok, ma se considero anche le soluzioni complesse come mi comporto? Perché in sostanza avrei un’equazione a due variabili complesse, ciascun numero è rappresentato nel piano di Gauss da una parte reale e immaginaria, dunque per due variabili complesse mi servirebbe un doppio piano(?)
Scusate ma non ho ben chiaro questo argomento
EDIT: ad esempio mi ero imbattuto in un esercizio in cui mi si chiedeva di rappresentare le soluzioni di un sistema nel quale c’erano una circonferenza a coefficienti reali e questa equazione $iy+x=3$ e non sapevo come disegnare quest’ultima
Nel senso, se prendo in considerazione solo le soluzioni reali mi trovo nel piano $xy$ e fin qui tutto ok, ma se considero anche le soluzioni complesse come mi comporto? Perché in sostanza avrei un’equazione a due variabili complesse, ciascun numero è rappresentato nel piano di Gauss da una parte reale e immaginaria, dunque per due variabili complesse mi servirebbe un doppio piano(?)
Scusate ma non ho ben chiaro questo argomento
EDIT: ad esempio mi ero imbattuto in un esercizio in cui mi si chiedeva di rappresentare le soluzioni di un sistema nel quale c’erano una circonferenza a coefficienti reali e questa equazione $iy+x=3$ e non sapevo come disegnare quest’ultima
(Perdonate l'intromissione, volevo chiedere a kry_98 di specificare l'insieme numerico cui appartengono $x$ e $y$: sono numeri reali o complessi?)
Forse ora ho capito meglio cosa vuoi sapere: te vuoi sapere come rappresentare le soluzioni di una equazione in due variabili complesse (ad esempio del tipo $F(X,Y)=0$, con $X,Y\inCC$). Le soluzioni sono coppie di numeri complessi, quindi per rappresentarle hai bisogno di uno spazio che ha dimensione 2 SUI COMPLESSI, quindi sui reali ha dimensione 4, per questo non riesci ad immaginartelo.
Allora io sto cercando le soluzioni in C
Dunque qualsiasi equazione a due variabili in C non è rappresentabile in alcun modo?
Ad esempio la circonferenza immaginaria
$X^2+Y^2=-1$ non è rappresentabile?
EDIT: tornando all’esercizio che avevo detto prima,
avevo a sistema una circonferenza
$(x-4/3)^2+y^2<=1$ con $iy-3x+4>0$
e non sapevo come rappresentare la retta
sempre soluzioni in C
Dunque qualsiasi equazione a due variabili in C non è rappresentabile in alcun modo?
Ad esempio la circonferenza immaginaria
$X^2+Y^2=-1$ non è rappresentabile?
EDIT: tornando all’esercizio che avevo detto prima,
avevo a sistema una circonferenza
$(x-4/3)^2+y^2<=1$ con $iy-3x+4>0$
e non sapevo come rappresentare la retta
sempre soluzioni in C
No, guarda... La cosa non ha senso.
Non ha alcun senso una relazione del tipo $iy-3x+4>0$, né se le variabili sono reali, né se sono complesse.
Analogamente, la relazione $(x-4/3)^2+y^2<=1$ ha senso solo se le variabili sono reali.
Ti spiacerebbe scrivere il testo dell'esercizio?
Non ha alcun senso una relazione del tipo $iy-3x+4>0$, né se le variabili sono reali, né se sono complesse.
Analogamente, la relazione $(x-4/3)^2+y^2<=1$ ha senso solo se le variabili sono reali.
Ti spiacerebbe scrivere il testo dell'esercizio?
Determinare l’insieme degli $ z in CC$ t.c.
Sistema con due disequazioni
\[
\begin{cases} (|z|+\operatorname{Re}z)^2(\operatorname{Im}z-3\operatorname{Re}z+4) \geq 0 \\ |z-4/3| \leq 1\end{cases}\]
EDIT: ah forse ci sono, qui è 1 variabile complessa
Sistema con due disequazioni
\[
\begin{cases} (|z|+\operatorname{Re}z)^2(\operatorname{Im}z-3\operatorname{Re}z+4) \geq 0 \\ |z-4/3| \leq 1\end{cases}\]
EDIT: ah forse ci sono, qui è 1 variabile complessa
Vabbè, dai, ma leggi bene le tracce prima di postare...
Riprendi da capo.
Come si può risolvere?
Riprendi da capo.
Come si può risolvere?
la mia domanda iniziale era generica ma in ogni caso non riesco a rappresentare le soluzioni di questo esercizio in quanto mi sono ricondotto a questo sistema
1) $((x^2+y^2)^(1/2)+x)^2(iy-3x+4)>=0$
2) $(x-3/4)^2+y^2<=1$
la seconda è l’equazione di una circonferenza, nella prima ho notato che il primo fattore è sempre $>=0$ e quindi mi limito a studiare il secondo
ma non riesco a capire cosa si intende per $z€C$
ad esempio nella seconda non è la stessa cosa di trovare le soluzioni reali o sbaglio? e nella prima come mi comporto?
1) $((x^2+y^2)^(1/2)+x)^2(iy-3x+4)>=0$
2) $(x-3/4)^2+y^2<=1$
la seconda è l’equazione di una circonferenza, nella prima ho notato che il primo fattore è sempre $>=0$ e quindi mi limito a studiare il secondo
ma non riesco a capire cosa si intende per $z€C$
ad esempio nella seconda non è la stessa cosa di trovare le soluzioni reali o sbaglio? e nella prima come mi comporto?
Cos'è un numero complesso?
Come si rappresenta?
Le domande che poni mostrano che non hai ben chiari questi fatti di base.
Inoltre, cos'è $"Im"z$?
Come si rappresenta?
Le domande che poni mostrano che non hai ben chiari questi fatti di base.
Inoltre, cos'è $"Im"z$?
So che un numero complesso è un numero appartenente all’insieme dei numeri complessi costituito da una parte reale e una parte immaginaria e rappresentato nel piano di Gaus come un punto le cui coordinate espresse dalla coppia $x,y$ rappresentano rispettivamente parte reale e parte immaginaria
In forma algebrica detto $z$ un numero complesso risulta $z=x+iy$, con $x$ parte reale, $iy$ parte immaginaria e $i$ unità immaginaria
sbaglio ?
per $Imz$ intendo la parte immaginaria di $z$
In forma algebrica detto $z$ un numero complesso risulta $z=x+iy$, con $x$ parte reale, $iy$ parte immaginaria e $i$ unità immaginaria
sbaglio ?
per $Imz$ intendo la parte immaginaria di $z$
"kry_98":
So che un numero complesso è un numero appartenente all’insieme dei numeri complessi costituito da una parte reale e una parte immaginaria e rappresentato nel piano di Gaus come un punto le cui coordinate espresse dalla coppia $x,y$ rappresentano rispettivamente parte reale e parte immaginaria
In forma algebrica detto $z$ un numero complesso risulta $z=x+iy$, con $x$ parte reale, $iy$ parte immaginaria e $i$ unità immaginaria
sbaglio ?
Sì, sbagli, per diversi motivi.
Ad esempio, questa parte:
"kry_98":
So che un numero complesso è un numero appartenente all’insieme dei numeri complessi [...]
è tautologica (tipo, un triangolo è un poligono triangolare).
"kry_98":
un numero complesso è [...] costituito da una parte reale e una parte immaginaria [...]
Va bene, ma cosa sono "parte reale" e "parte immaginaria"?
"kry_98":
un numero complesso è [...] rappresentato nel piano di Gaus come un punto le cui coordinate espresse dalla coppia $x,y$ rappresentano rispettivamente parte reale e parte immaginaria
Che tipo di oggetti sono $x$ ed $y$?
Chiodi? Patate? Lettere dell'alfabeto latino? Numeri?
"kry_98":
In forma algebrica detto $z$ un numero complesso risulta $z=x+iy$, con $x$ parte reale, $iy$ parte immaginaria e $i$ unità immaginaria
Detto $z$ un oggetto che non sai ancora cos'è (perché non l'hai definito), esso si rappresenta in un certo modo. Va bene...
"kry_98":
per $Imz$ intendo la parte immaginaria di $z$
No.
$"Im" z$ non è la parte immaginaria.
Allora,
$x$ e $y$ sono variabili reali, che indicano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata nel piano
Si ho sbagliato, $Imz$ indica l’ordinata $y$ di $z$
Per parte reale indico il numero reale $x$, per parte immaginaria indico il numero reale $y$ moltiplicato per l’unità immaginaria $i$
$x$ e $y$ sono variabili reali, che indicano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata nel piano
Si ho sbagliato, $Imz$ indica l’ordinata $y$ di $z$
Per parte reale indico il numero reale $x$, per parte immaginaria indico il numero reale $y$ moltiplicato per l’unità immaginaria $i$
\(\)
Usiamo la forma algebrica:
\(\left\{\begin{matrix}
\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}} +x\right )^{2}\left ( y-3x+4 \right )\geq 0\\
\sqrt{\left ( x-\frac{4}{3} \right )^{2}+y^{2}}\leq 1
\end{matrix}\right.\)
Prendiamo di petto la seconda disequazione
\(\sqrt{\left ( x-\frac{4}{3} \right )^{2}+y^{2}}\leq 1\)
Sotto radice ci sono 2 quadrati, quindi il risultato sarà sempre positivo,
questo mi permette di fare una semplificazione:
\(\left ( x-\frac{4}{3} \right )^{2}+y^{2}\leq 1\)
Bhè ma questa è una circonferenza di raggio \(r=1\) e di centro \(\left ( \frac{4}{3} ,0\right )\)
Quindi tuttte le soluzioni si troveranno all'interno e sulla circonferenza
Non è finita ci manca l'altro pezzo
Facciamola breve
Eguagliamo a \(0\)
\(\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}} +x\right )^{2}\left ( y-3x+4 \right )= 0\)
Risolvo per \(y\):
\(y=3x-4\)
In pratica una retta che ci taglierà in 2 parti la nostra circonferenza
Evidentemente essendo la condizione \(\geq 0\) prenderò la parte della cerchio
destro:
Le \(z\) che verificano quel sistema di disequazioni si trovano tutte all'interno e sul bordo di questo scarabocchio
Buttiamo giù una equazione parametrica:
\(\left\{\begin{matrix}x=cos(t)+\frac{4}{3})\\y=sin(t))\end{matrix}\right.\)
con \(t\) nell'intervallo :
\(\left [ tan^{-1}\left ( 3 \right ),tan^{-1}\left ( 3 \right )-\pi \right ]\)
Usiamo la forma algebrica:
\(\left\{\begin{matrix}
\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}} +x\right )^{2}\left ( y-3x+4 \right )\geq 0\\
\sqrt{\left ( x-\frac{4}{3} \right )^{2}+y^{2}}\leq 1
\end{matrix}\right.\)
Prendiamo di petto la seconda disequazione
\(\sqrt{\left ( x-\frac{4}{3} \right )^{2}+y^{2}}\leq 1\)
Sotto radice ci sono 2 quadrati, quindi il risultato sarà sempre positivo,
questo mi permette di fare una semplificazione:
\(\left ( x-\frac{4}{3} \right )^{2}+y^{2}\leq 1\)
Bhè ma questa è una circonferenza di raggio \(r=1\) e di centro \(\left ( \frac{4}{3} ,0\right )\)
Quindi tuttte le soluzioni si troveranno all'interno e sulla circonferenza
Non è finita ci manca l'altro pezzo
Facciamola breve
Eguagliamo a \(0\)
\(\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}} +x\right )^{2}\left ( y-3x+4 \right )= 0\)
Risolvo per \(y\):
\(y=3x-4\)
In pratica una retta che ci taglierà in 2 parti la nostra circonferenza
Evidentemente essendo la condizione \(\geq 0\) prenderò la parte della cerchio
destro:
Le \(z\) che verificano quel sistema di disequazioni si trovano tutte all'interno e sul bordo di questo scarabocchio
Buttiamo giù una equazione parametrica:
\(\left\{\begin{matrix}x=cos(t)+\frac{4}{3})\\y=sin(t))\end{matrix}\right.\)
con \(t\) nell'intervallo :
\(\left [ tan^{-1}\left ( 3 \right ),tan^{-1}\left ( 3 \right )-\pi \right ]\)
Ok, un po’ di chiarezza sui simboli, quanto meno.
Facciamo un po’ di chiarezza anche sulla definizione di numero complesso.
Un numero complesso $z$ è (per definizione) una coppia ordinata di numeri reali $(x,y) in RR^2$. L’insieme $RR^2$ si può dotare di una somma ed un prodotto che hanno le stesse proprietà delle usuali operazioni nel campo reale; la struttura algebrica così ottenuta si chiama campo complesso e si denota con $CC$.
Si dimostra che $CC$ contiene un sottoinsieme isomorfo al campo reale, cioè quello che ha per elementi i numeri complessi del tipo $(x,0)$; per tale ragione i numeri di tal fatta si denotano semplicemente con $x$ e, per comodità, si dice che $RR subset CC$.
Si dimostra che ogni numero complesso $z=(x,y)$ si può scrivere come $z=(x,0) + (y,0) * (0,1)$; posto $i:=(0,1)$, con la convenzione sulla rappresentazione dei numeri reali introdotta precedentemente, l’uguaglianza precedente si può scrivere $z=x + y*i$, la quale si chiama forma algebrica di $z$ (contrapposta a $z=(x,y)$ detta forma cartesiana di $z$).
Veniamo all’esercizio.
Dunque $x,y in RR$ e non $in CC$ come è all'inizio.
Ricordato che se $z=x+iy$ allora $"Re" z=x$ ed $"Im" z =y$ ($"Im"$ è il coefficiente della parte immaginaria di $z$), il sistema:
\[
\begin{cases} (|z|+\operatorname{Re}z)^2(\operatorname{Im}z-3\operatorname{Re}z+4) \geq 0 \\ |z-4/3| \leq 1\end{cases}
\]
si riscrive come sistema di disequazioni nelle incognite reali $x$ ed $y$:
\[
\begin{cases} (\sqrt{x^2 + y^2} + x)^2 (y - 3x + 4) \geq 0 \\ (x - 4/3)^2 + y^2 \leq 1\end{cases}\; ;
\]
in sistema del genere si risolve ragionando sulle cose studiate alle superiori.
Ad esempio, la seconda disequazione ha come soluzioni tutti i punti $(x,y) in RR^2$ che appartengono al cerchio chiuso $Omega$ di centro $(4/3,0)$ e raggio $1$.
D'altra parte, la prima disequazione si riscrive come:
\[
(\sqrt{x^2 + y^2} + x)^2 (y - 3x + 4) \geq 0 \iff \sqrt{x^2 + y^2} + x =0 \ \lor\ y - 3x + 4 \geq 0
\]
(come dici tu, è vero che \(\sqrt{x^2 + y^2} + x \geq 0\) ma ciò non ti consente di eliminare un pezzo della disequazione che ti fornisce comunque delle soluzioni); le soluzioni di \(\sqrt{x^2 + y^2} + x =0\) sono tutti i punti del semiasse reale negativo, cioè $(x,0)$ con $x<=0$, mentre le soluzioni di \(y - 3x + 4 \geq 0\) sono tutti i punti del semipiano chiuso che giace al disopra della retta $r$ di equazione $y = 3x-4$.
Ne consegue che le soluzioni del tuo sistema sono i punti del cerchio $Omega$ che si trovano sul semiasse reale negativo oppure al disopra della retta $r$.
Un disegno:
[asvg]xmin=-1; xmax=3; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; fill="lightyellow"; circle([1.333,0], 1);
stroke="dodgerblue"; line([0,0], [-2,0]);[/asvg]
mostra che non ci sono punti del cerchio $Omega$ sul semiasse reale negativo; analogamente, un altro disegno:
[asvg]xmin=-1; xmax=3; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; fill="lightyellow"; circle([1.333,0], 1);
stroke="dodgerblue"; line([-2,-10], [3,5]);[/asvg]
ti mostra che ci sono molti punti che soddisfano le condizioni imposte.
Facciamo un po’ di chiarezza anche sulla definizione di numero complesso.
Un numero complesso $z$ è (per definizione) una coppia ordinata di numeri reali $(x,y) in RR^2$. L’insieme $RR^2$ si può dotare di una somma ed un prodotto che hanno le stesse proprietà delle usuali operazioni nel campo reale; la struttura algebrica così ottenuta si chiama campo complesso e si denota con $CC$.
Si dimostra che $CC$ contiene un sottoinsieme isomorfo al campo reale, cioè quello che ha per elementi i numeri complessi del tipo $(x,0)$; per tale ragione i numeri di tal fatta si denotano semplicemente con $x$ e, per comodità, si dice che $RR subset CC$.
Si dimostra che ogni numero complesso $z=(x,y)$ si può scrivere come $z=(x,0) + (y,0) * (0,1)$; posto $i:=(0,1)$, con la convenzione sulla rappresentazione dei numeri reali introdotta precedentemente, l’uguaglianza precedente si può scrivere $z=x + y*i$, la quale si chiama forma algebrica di $z$ (contrapposta a $z=(x,y)$ detta forma cartesiana di $z$).
Veniamo all’esercizio.
Dunque $x,y in RR$ e non $in CC$ come è all'inizio.
Ricordato che se $z=x+iy$ allora $"Re" z=x$ ed $"Im" z =y$ ($"Im"$ è il coefficiente della parte immaginaria di $z$), il sistema:
\[
\begin{cases} (|z|+\operatorname{Re}z)^2(\operatorname{Im}z-3\operatorname{Re}z+4) \geq 0 \\ |z-4/3| \leq 1\end{cases}
\]
si riscrive come sistema di disequazioni nelle incognite reali $x$ ed $y$:
\[
\begin{cases} (\sqrt{x^2 + y^2} + x)^2 (y - 3x + 4) \geq 0 \\ (x - 4/3)^2 + y^2 \leq 1\end{cases}\; ;
\]
in sistema del genere si risolve ragionando sulle cose studiate alle superiori.
Ad esempio, la seconda disequazione ha come soluzioni tutti i punti $(x,y) in RR^2$ che appartengono al cerchio chiuso $Omega$ di centro $(4/3,0)$ e raggio $1$.
D'altra parte, la prima disequazione si riscrive come:
\[
(\sqrt{x^2 + y^2} + x)^2 (y - 3x + 4) \geq 0 \iff \sqrt{x^2 + y^2} + x =0 \ \lor\ y - 3x + 4 \geq 0
\]
(come dici tu, è vero che \(\sqrt{x^2 + y^2} + x \geq 0\) ma ciò non ti consente di eliminare un pezzo della disequazione che ti fornisce comunque delle soluzioni); le soluzioni di \(\sqrt{x^2 + y^2} + x =0\) sono tutti i punti del semiasse reale negativo, cioè $(x,0)$ con $x<=0$, mentre le soluzioni di \(y - 3x + 4 \geq 0\) sono tutti i punti del semipiano chiuso che giace al disopra della retta $r$ di equazione $y = 3x-4$.
Ne consegue che le soluzioni del tuo sistema sono i punti del cerchio $Omega$ che si trovano sul semiasse reale negativo oppure al disopra della retta $r$.
Un disegno:
[asvg]xmin=-1; xmax=3; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; fill="lightyellow"; circle([1.333,0], 1);
stroke="dodgerblue"; line([0,0], [-2,0]);[/asvg]
mostra che non ci sono punti del cerchio $Omega$ sul semiasse reale negativo; analogamente, un altro disegno:
[asvg]xmin=-1; xmax=3; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; fill="lightyellow"; circle([1.333,0], 1);
stroke="dodgerblue"; line([-2,-10], [3,5]);[/asvg]
ti mostra che ci sono molti punti che soddisfano le condizioni imposte.
@Exodus:
Ma anche no.
Il semipiano da considerare è quello che contiene l'origine, ossia quello "sinistro".
"Exodus":
Evidentemente essendo la condizione $>=0$ prenderò la parte della cerchio destro
Ma anche no.
Il semipiano da considerare è quello che contiene l'origine, ossia quello "sinistro".
"gugo82":
Ma anche no.
Il semipiano da considerare è quello che contiene l'origine, ossia quello "sinistro".
Giusto , chissà perchè ieri ho scritto questa follia
Comunque la soluzione dovrebbe essere questa:
La curva parametrica:
\(\left\{\begin{matrix}
x=cos(t)+\frac{4}{3}
\\
y=sin(t)
\end{matrix}\right.\)
Inervallo:
\(\left [ tan^{-1}\left ( 3 \right ),tan^{-1}\left ( 3 \right )+\pi \right ]\)
Retta parametrica:
\(\left\{\begin{matrix}
x=t
\\
y=3t-4
\end{matrix}\right.\)
Intervallo:
\(\left [ \sqrt{\frac{1}{10}}+\frac{4}{3},-\frac{1}{10}\sqrt{10}+\frac{4}{3} \right ]\)
Grazie a entrambi...
Comunque questi esercizi si riducono a disequazioni a incognite reali, se così non fosse non avrebbero senso, no? E più in generale relazioni di $>$,$<$ non hanno senso se cerco soluzioni complesse, giusto?
Comunque questi esercizi si riducono a disequazioni a incognite reali, se così non fosse non avrebbero senso, no? E più in generale relazioni di $>$,$<$ non hanno senso se cerco soluzioni complesse, giusto?
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