Soluzione sistema lineare eq.diff.
Non riesco a trovare l'equazione particolare di un sistema di equazioni con il metodo della variazione delle costanti:
Ho il seguente sistema di equazioni :$\{(u'-u-2v=x),(v'-u-2v=e^x):}$
Ho ricavato la matrice dell'integrale generale $\((1,-1/2),(e^(3x),e^(3x)))$
Ora per ricavare la soluzione particolare il libro mi dice che h-esima funzione dell'integrale particolare :
$\bar y_h = \int_(x_0)^x \sum_{i,k=1}^n g_i(t) *y_(hk)(x)* (V_(ik)(t))/(V(t)) dt$ per h=1,2,...n
dove le $g_i(t)$ sono i termini noti , V(t) rappresenta il determinante della matrice dell'integreale generale e $V_(ik)$ il complemento algebrico di $y_(ik)(x)$.
Allora se calcolo la matrice del complemento algebrico diviso il determinante ottengo $((2/3,-2/3),(1/3 e^(-3x),2/3 e^(-3x)))$
Spero fin qui sia corretto poi non riesco a proseguire nel senso che i tentativi fatti non vanno nella direzione di risolvere il sistema. Posto la soluzione del libro
$u= C1 + C2 e^(3x) - e^x +1/3x^2-1/9x,v=-C_1/2 + C2 e^(3x) -1/6x^2 -1/9 x -1/18$
So che si puo' arrivare alla soluzione con un metodo molto + veloce tuttavia mi interessava imparare questo metodo del libro xchè è + generico per sistemi nxn
grazie
Ho il seguente sistema di equazioni :$\{(u'-u-2v=x),(v'-u-2v=e^x):}$
Ho ricavato la matrice dell'integrale generale $\((1,-1/2),(e^(3x),e^(3x)))$
Ora per ricavare la soluzione particolare il libro mi dice che h-esima funzione dell'integrale particolare :
$\bar y_h = \int_(x_0)^x \sum_{i,k=1}^n g_i(t) *y_(hk)(x)* (V_(ik)(t))/(V(t)) dt$ per h=1,2,...n
dove le $g_i(t)$ sono i termini noti , V(t) rappresenta il determinante della matrice dell'integreale generale e $V_(ik)$ il complemento algebrico di $y_(ik)(x)$.
Allora se calcolo la matrice del complemento algebrico diviso il determinante ottengo $((2/3,-2/3),(1/3 e^(-3x),2/3 e^(-3x)))$
Spero fin qui sia corretto poi non riesco a proseguire nel senso che i tentativi fatti non vanno nella direzione di risolvere il sistema. Posto la soluzione del libro
$u= C1 + C2 e^(3x) - e^x +1/3x^2-1/9x,v=-C_1/2 + C2 e^(3x) -1/6x^2 -1/9 x -1/18$
So che si puo' arrivare alla soluzione con un metodo molto + veloce tuttavia mi interessava imparare questo metodo del libro xchè è + generico per sistemi nxn
grazie
Risposte
La soluzione del sistema data dal libro è esatta per ottenerla ho usato il metodo di sostituzione e poi il principio di sovrapposizione calcolando separatamente prima un integrale particolare con $ y''-3y'=1-2x$ che ho risolto imponendo che la soluzione particolare sia del tipo $y=(ax^2+bx+c)$ e ottenendo $y=1/3x^2-1/9x$, quindi imponendo $ y''-3y'=e^x$ cercando la soluzione particolare partendo da $y=e^x(ax+b)$. Facenndo le opportune derivazioni, mettendole nella equqazione differenziale data ed eguagliando i due membri si ottengono i valori di a e b nei due casi. L'integrale generale sarà data dalla somma della soluzione dell'omogenea associata e di quella dei dueintegrali particolari.
Si.
Tuttavia cercavo di capire come applicare il metodo delle variazioni ad un sistema nxn poichè a volte la sostituzione in sistemi + grandi diventa lunga.
Secondo te la matrice della omogenea associata è giusta? non vorrei averla ceffata....
Tuttavia cercavo di capire come applicare il metodo delle variazioni ad un sistema nxn poichè a volte la sostituzione in sistemi + grandi diventa lunga.
Secondo te la matrice della omogenea associata è giusta? non vorrei averla ceffata....
Non conosco il metodo da te utilizzato ma a sensazione mi suona strano che ci siano termini e^x nel determinante dell'omogenea associata. Mi sarei aspettato termini costanti però potrei sbagliare! io ricontrollerei la matrice!
Ma nella omogenea associata se non erro vengono scitti gli n vettori colonna che sono soluzioni della omogenea...
il problema che non trovo nemmeno un esempio ma solo teoria. Anche su questo sito ho provato a spulciare ma non ho trovato nulla
il problema che non trovo nemmeno un esempio ma solo teoria. Anche su questo sito ho provato a spulciare ma non ho trovato nulla
Mea culpa !Il procedimento è corretto ...avevo sbagliato l'integrazione per parti. Oggi ho ripassato i calcoli al computer e ho trovato l'errore che non mi faceva tornare il risultato....
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