Soluzione problema di Cauchy

[mazzy89-votailprof]

Ho qualche problemino nella risoluzione di questo esercizio:

Provare che la soluzione del problema di Cauchy

${(y^('')-4y=|x-1|),(y(1)=-1),(y^{\prime}(1)=0):}$

ha un massimo relativo in $x=1$

Io inizierei ad impostare l'esercizio nel seguente modo:

$phi^('')(x)=|x-1|+4(phi(x))$
ora questa quantità è positiva per $phi(x)>=0$.giusto o sbaglio?

[salvozungri]

Sì va bene, però... io farei delle osservazioni:

$y''(x)= |x-1|+4y(x)$
Per $x=1$ abbiamo che:

$y'(1)=0$ (vedi le condizioni iniziali)
$y''(1)= |1-1|+4 y(1)= -4$. Cosa possiamo dedurre?

Mi preoccupa un po' il valore assoluto

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Sì va bene, però... io farei delle osservazioni:

$y''(x)= |x-1|+4y(x)$
Per $x=1$ abbiamo che:

$y'(1)=0$ (vedi le condizioni iniziali)
$y''(1)= |1-1|+4 y(1)= -4$. Cosa possiamo dedurre?

Mi preoccupa un po' il valore assoluto

mmm quindi possiamo deddure che vi è un flesso nel punto $(1,-4)$ e quindi la derivata seconda...

[gugo82]

Sia $phi$ la soluzione del problema (esistente perchè l'equazione è lineare); evidentemente $phi$ è $C^2$ almeno in un intorno di $1$ (questo è importante).
Sostituendo le condizioni iniziali nell'equazione trovi, come detto da Mathematico, $phi''(1)=-4$ e tanto basta per finire se tieni presenti le condizioni iniziali ed il fatto che $phi''$ è continua intorno a $1$.

Infatti, guardando le condizioni iniziali e le continuità di $phi$, ti ritrovi ad avere in $1$ un punto critico ($phi'(1)=0$) intorno al quale $phi$ è derivabile due volte ed ha derivata negativa (permanenza del segno per $phi''$); per noti risultati circa i massimi di funzioni derivabili due volte hai la tesi.

[mazzy89-votailprof]

"Gugo82":Sia $phi$ la soluzione del problema (esistente perchè l'equazione è lineare); evidentemente $phi$ è $C^2$ almeno in un intorno di $1$ (questo è importante).
Sostituendo le condizioni iniziali nell'equazione trovi, come detto da Mathematico, $phi''(1)=-4$ e tanto basta per finire se tieni presenti le condizioni iniziali ed il fatto che $phi''$ è continua intorno a $1$.

Infatti, guardando le condizioni iniziali e le continuità di $phi$, ti ritrovi ad avere in $1$ un punto critico ($phi'(1)=0$) intorno al quale $phi$ è derivabile due volte ed ha derivata negativa (permanenza del segno per $phi''$); per noti risultati circa i massimi di funzioni derivabili due volte hai la tesi.

Ti ringrazio Gugo82.Qui il discorso si fa teorico al 100%.La tua spiegazione è stata esauriente