Soluzione problema cauchy

[tommi87]

mi potreste aiutare nella risoluzione di questo problema per favore.
$\{( y' = -2xy/(1 + x^2 ) + f(x)) , (y(0) = 0)}$
dove f(x)=$\{(0 se 0<=x e x>pi) , (sin x se 0<=x>=pi)}$
il mio dubbio riguard quale f(x) devo considerare nell'equazione differenziale visto che in x=0 ho sia f(x)=0 che f(x)=sin x?
spero di essermi spiegato...grazie in anticipo

[pater46]

Volevi scrivere $y'$ al posto di $y$ ?

[tommi87]

si ho corretto l'equazioe che avevo scritto male

[pater46]

Anche le condizioni sulla f(x) non sono scritte bene, come fa la x a essere contemporaneamente minore di 0 e maggiore di pi greco? Dimmi se così è giusto:

${ ( y' = -2/(1 + x^2 ) + f(x) ),( y(0) = 0 ):}$
con
$f(x)= { ( 0,x<=0 uu x>=pi),( sinx,0

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[tommi87]

lo pesavo anche io ma il professore ha detto che in x=0 vale sia f(x)=0 che f(x)=sin x

[pater46]

Ok, allora ti butto le mie considerazioni. ( Sto studiando le equazioni differenziali in questo periodo, quindi diciamo che aspetto anche io conferme o smentite su quello che sto per dire ).

E' un'equazione a variabili separabili, che si integra subito ed ottieni

$ y = -2arctanx + int f(x)dx + k $

Ora... In entrambi i casi, imponendo il passaggio per (0, 0), hai:

$ 0 = 0 + 0 + k to k=0$

Quindi hai come soluzioni:
$y=-2arctanx-cosx$ per $ 0<= x <= pi$, altrimenti $y = -2arctanx$

Ripeto, non fidarti troppo, mi accodo alla tua richiesta di aiuto per vedere se ho imparato qualcosa in questi giorni

[tommi87]

1)scusa ma ho sbgliato e mancava una x nell'equazione...ora ho corretto.
2)se considero f(x)=0 a me viene un'equazione a variabili separabili $(dely)/(delx)=-2xy/(1+x^2)$ che integrando mi viene $ln y=-ln(1+x^2)+c $ e levando i logaritmi $ y=K/(1*x^2)$ dove k=e^c poi per la C.I. y=0 ho che c non esiste.
se invece $ f(x)=sin x $ ho un'equazione del tipo $ y'=a(x)y + b(x) $ perciò l'intgrale generale è $ y(x)=1/(1+x^2)*\int -cosx*e^ln(1+x^2)dx $che risolveno i da c=-1

[salvozungri]

"tommi87":mi potreste aiutare nella risoluzione di questo problema per favore.
$\{( y' = -(2xy)/(1 + x^2 ) + f(x)) , (y(0) = 0):}$
dove f(x)=$\{(0 \text{ se } 0<=x \text{ e } x>pi) , (sin x \text{ se } 0<=x<=pi):}$

L'equazione differenziale che interviene nel problema di Cauchy è lineare del primo ordine non omogenea, della forma [tex]y'(x)+p(x)= f(x)[/tex], dove[tex]p(x)[/tex] e [tex]f(x)[/tex] sono funzioni continue in [tex]\mathbb{R}[/tex].

Riscrivo l'equazione in forma normale:

[tex]$y'(x) +\frac{2 x y(x)}{1+x^2} = f(x)[/tex]

In questo caso [tex]p(x)= \frac{2x}{1+x^2}[/tex]. La formula risolutiva per questo tipo di equazioni differenziali è:

[tex]$y(x)= e^{-A(x)} * \left(y_0 +\int_{x_0}^x f(t) e^{A(t)} dt\right)[/tex] dove [tex]$A(x):= \int_{x_0}^x p(t) dt[/tex].


Sostituendo i nostri valori nella formula si scopre facilmente che [tex]A(x)= \log(1+x^2)[/tex], quindi:

•[tex]$e^{-A(x)}= \frac{1}{1+x^2}[/tex] mentre
•[tex]$e^{A(x)}= 1+x^2[/tex].

I "problemi" sorgono quando dobbiamo risolvere l'integrale:
[tex]$\int_{x_0}^x f(t) e^{A(t)} dt= \int_{0}^x f(t)(1+t^2)dt[/tex]. Sebbene sia un integrale abbastanza strano, non è difficile da risolvere, bisogna solo porre attenzione in quale intervallo stiamo lavorando e utilizzare qualche proprietà elementare dell'operatore integrale

Se [tex]x\le 0[/tex] allora la funzione [tex]f[/tex] è identicamente nulla proprio per come è definita, di conseguenza l'integrale:

[tex]$\int_{0}^x f(t)(1+t^2)dt = 0\quad\forall x\in (-\infty, 0)[/tex]

Se [tex]0\le x\le \pi[/tex], la funzione [tex]f(x)[/tex] è [tex]\sin(x)[/tex]

[tex]$\int_{0}^x f(t)(1+t^2)dt = \int_{0}^ x \sin(t) (1+t^2) dt= -1+\cos(x)-x^2 \cos(x)+2x \sin(x) \quad\forall x\in [0, \pi][/tex].
L'integrale si risolve per parti dopo aver sviluppato il prodotto

Ecco la parte più delicata, ma nemmeno tanto, da trattare

Se [tex]x>\pi[/tex] allora:

[tex]$\int_{0}^x f(t)(1+t^2)dt = \int_{0}^\pi \sin(t)(1+t^2)dt +\int_{\pi}^x f(t)(1+t^2)dt[/tex]

[tex]=-2+\pi^2[/tex]

porgendo attenzione all'integrale [tex]$\int_{\pi}^x f(t)(1+t^2)dt[/tex] che è identicamente nullo per [tex]x>\pi[/tex] (mi sapresti dire perchè? )

Mettendo tutto insieme ottieni la soluzione

SE&O (dissonance docet )

[tommi87]

1)è sbagliato nel caso in cui f(x)=0 risolvere l'integrale separando le variabili?
2)per la C.I. y(0)=0 quale soluzione considero?

[salvozungri]

"tommi87":1)è sbagliato nel caso in cui f(x)=0 risolvere l'integrale separando le variabili?

Sì e no, potresti usare questa tecnica per [tex]x<0[/tex], ma per [tex]x>\pi[/tex] fallisce miseramente, infatti in questo caso, nell'integrale interviene anche il seno, e quindi l'equazione non è più a variabili separabili.

"tommi87":
2)per la C.I. y(0)=0 quale soluzione considero?

Guarda che se metti i pezzi al loro posto ottieni una sola soluzione

[pater46]

"tommi87":...che integrando mi viene $ln y=-ln(1+x^2)+c $

Perchè lny? Non vedo y al denominatore

[salvozungri]

"Mathematico":[quote="tommi87"]1)è sbagliato nel caso in cui f(x)=0 risolvere l'integrale separando le variabili?

Sì e no, potresti usare questa tecnica per [tex]x<0[/tex], ma per [tex]x>\pi[/tex] fallisce miseramente, infatti in questo caso, nell'integrale interviene anche il seno, e quindi l'equazione non è più a variabili separabili.
[/quote]

Edito qui. Purtroppo ho detto una mezza castroneria, il problema non è tanto quello che ho scritto (che di per sè è privo di senso).

Il problema è il seguente:
Se [tex]x>\pi[/tex], e volessimo utilizzare la teoria delle equazioni differenziali a variabili separabili, dovremmo risolvere il seguente problema:
[tex]\displaystyle\left\{\begin{matrix}\displaystyle y'(x) = -\frac{2 x y(x)}{1+x^2} \\ \\ y(x_0)= y_0 \quad \text{ con }x_0>\pi\end{matrix}\right.[/tex]

ed in questo caso c'è una incongruenza con le condizioni iniziali del problema di Cauchy originario, (almeno, questa è la giustificazione che mi sento di dare )

[pater46]

Mathematico non ti seguo...

La condizione di cauchy a quanto ho capito impone il solo passaggio del grafico delle soluzioni nel punto indicato. Ma le x possono ancora assumere qualsiasi valore ( nel dominio delle funzioni presenti )... no?

[salvozungri]

"pater46":Mathematico non ti seguo...

La condizione di cauchy a quanto ho capito impone il solo passaggio del grafico delle soluzioni nel punto indicato. Ma le x possono ancora assumere qualsiasi valore ( nel dominio delle funzioni presenti )... no?

Per come è stato costruito l'esercizio no. In generale, un problema di Cauchy dipende fortemente dalla funzione [tex]f(x)[/tex] e dai valori iniziali e in genere a domini diversi è associata una soluzione diversa. Cerco di essere più chiaro:

Consideriamo sempre il nostro caro problema di Cauchy.

[tex]\displaystyle\left\{\begin{matrix}\displaystyle y'(x) = -\frac{2 x y(x)}{1+x^2} +f(x)\\ \\ y(0)= 0 \end{matrix}\right.[/tex]

con la solita f(x).

Se [tex]x\le 0[/tex] o [tex]x\ge \pi[/tex] allora la funzione [tex]f(x)[/tex] è identicamente nulla. Vogliamo risolvere il problema di Cauchy con la teoria delle equazioni differenziali a variabili separabili.

Caso 1:

[tex]x\le 0[/tex]
Il problema di Cauchy diventa:

[tex]\displaystyle\left\{\begin{matrix}\displaystyle y'(x) = -\frac{2 x y(x)}{1+x^2} \\ \\ y(0)= 0 \end{matrix}\right.[/tex]

poichè [tex]f(x)=0 \quad\forall x\le0[/tex]
Il punto iniziale, [tex](x_0, y_0)=(0, 0)[/tex] appartiene al dominio delle funzioni in gioco (stiamo lavorando in [tex](-\infty, 0]\times\mathbb{R}[/tex], quindi possiamo usare formule risolutive note , anche se si vede ad occhio che la soluzione è [tex]y(x)= 0[/tex].

Caso 2:
[tex]x\ge \pi[/tex]

Il problema di Cauchy diventa:
[tex]\displaystyle\left\{\begin{matrix}\displaystyle y'(x) = -\frac{2 x y(x)}{1+x^2} \\ \\ y(0)= 0 \end{matrix}\right.[/tex]

Dovrebbe risultare subito chiaro che le condizioni iniziali non rientrano nel dominio in cui stiamo lavorando [tex](x_0, y_0)= (0, 0)\notin [\pi, +\infty)\times\mathbb{R}[/tex]. Dunque il problema è mal posto.

Spero sia più chiaro ora

[pater46]

Aaaah, chiarissimo! Non ci avevo pensato Grazie, mi tornerà utile fare certe considerazioni