Soluzione particolare eq.differenziale
Ciao a tutti, sto trovando molte difficoltà a capire data un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti come determinare la soluzione particolare $h(x)$. Qualcuno potrebbe darmi una spiegazione magari più pratica che teorica?
grazie
riporto qui sotto 5 esempi che mi stanno mettendo un po' in crisi:
$\{(y''+y'-2y=3xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=1):}$
qui $h(x)=x*(ax+b)e^(x)$: perchè un polinomio di primo grado?
$\{(y''-2y'+y=xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)=x*(ax^2e^x)$:perchè basta solo un $ax^2$ e non $h(x)=x*(ax^2+bx)e^x$? e sempre perchè senza $c$?
$\{(y''-4y'+4y=xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)$ sarebbe del tipo $x*(a*e^x)$? oppure $x*(ax*e^x)$? e come lo decido?
$\{(y''-8y'+15y=2xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)$ come sarebbe? $h(x)=x*(a*e^x)$? perchè?
$\{(y''-10y=-10x^2),(y(0)=1/5),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)=ax^2+bx+c$: perchè qui invece il termine noto $c$ va messo??
Grazie infinite a chi mi aiuterà a capire
grazie
riporto qui sotto 5 esempi che mi stanno mettendo un po' in crisi:
$\{(y''+y'-2y=3xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=1):}$
qui $h(x)=x*(ax+b)e^(x)$: perchè un polinomio di primo grado?
$\{(y''-2y'+y=xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)=x*(ax^2e^x)$:perchè basta solo un $ax^2$ e non $h(x)=x*(ax^2+bx)e^x$? e sempre perchè senza $c$?
$\{(y''-4y'+4y=xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)$ sarebbe del tipo $x*(a*e^x)$? oppure $x*(ax*e^x)$? e come lo decido?
$\{(y''-8y'+15y=2xe^x),(y(0)=1),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)$ come sarebbe? $h(x)=x*(a*e^x)$? perchè?
$\{(y''-10y=-10x^2),(y(0)=1/5),(y'(0)=0):}$
qui $h(x)=ax^2+bx+c$: perchè qui invece il termine noto $c$ va messo??
Grazie infinite a chi mi aiuterà a capire
Risposte
Ciao Aletzunny,
Innanzitutto sgomberiamo subito il campo da una questione: la soluzione particolare di un'equazione differenziale non contiene mai la costante (o meglio le costanti, visto che stiamo parlando di equazioni differenziali del secondo ordine), che invece compaiono nella soluzione dell'equazione omogenea associata. Quanto al resto, potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Innanzitutto sgomberiamo subito il campo da una questione: la soluzione particolare di un'equazione differenziale non contiene mai la costante (o meglio le costanti, visto che stiamo parlando di equazioni differenziali del secondo ordine), che invece compaiono nella soluzione dell'equazione omogenea associata. Quanto al resto, potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
"pilloeffe":
Ciao Aletzunny,
Innanzitutto sgomberiamo subito il campo da una questione: la soluzione particolare di un'equazione differenziale non contiene mai la costante (o meglio le costanti, visto che stiamo parlando di equazioni differenziali del secondo ordine), che invece compaiono nella soluzione dell'equazione omogenea associata. Quanto al resto, potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Grazie, a quanto ho capito dunque c'è un metodo generale ma buona parte dipende dal singolo testo dell'esercizio!
Prego!
Questa tua frase mi ha fatto venire il dubbio che tu non abbia letto attentamente la colonna "Eventuali eccezioni ed osservazioni" in particolare del CASO 2, $A e^{\lambda x} $
Poi certo che c'è un metodo generale, prova a cercare "metodo di somiglianza" anche solo su questo forum, troverai un bel po' di materiale, fra il quale questo post di gugo82.
"Aletzunny":
c'è un metodo generale ma buona parte dipende dal singolo testo dell'esercizio!
Questa tua frase mi ha fatto venire il dubbio che tu non abbia letto attentamente la colonna "Eventuali eccezioni ed osservazioni" in particolare del CASO 2, $A e^{\lambda x} $
Poi certo che c'è un metodo generale, prova a cercare "metodo di somiglianza" anche solo su questo forum, troverai un bel po' di materiale, fra il quale questo post di gugo82.
In che senso scusami? Il pdf l'ho letto tutto e mi pare di aver abbastanza capito...
Cioè che volevo dire è che sto capendo che questo argomento è meno teorico di altri ed è più facile comprendere il funzionamento delle varie soluzioni particolari facendo esercizi
Cioè che volevo dire è che sto capendo che questo argomento è meno teorico di altri ed è più facile comprendere il funzionamento delle varie soluzioni particolari facendo esercizi
"Aletzunny":
In che senso scusami? Il pdf l'ho letto tutto e mi pare di aver abbastanza capito...
Bene, meglio così, allora era solo una mia impressione...
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