Soluzione particolare Eq. Differenziale

[MarioMario2]

Buongiorno a tutti, non ho capito come trovare la saluzione particolare di un Eq. differeznziale non omogenea del second'ordine.
Data l’eq. lineare a coefficienti costanti : $ay''+by'+cy=f(x)$
il polinomio caratteristico è $\lambda^2+\lambda+c$ da cui trovo l'integrale generale dell'eq. omogenea associata.
Per il metodo di somiglianza per esempio se fosse $f(x)=Ae^(alphax)$
la soluzione particolare $\bar y$ sarebbe:

$\{( Qn(x)\ se \ lambda=0\ non \ è \ radice \ di \ P(\lambda)),(xQn(x) se \ lambda=0 \ è \ radice \ di \ P(\lambda)),(x^2Qn(x) se \ lambda=0 \ è \ radice \ dopp\ia \ di \P(\lambda)):}$

Questo ultimo sitema non mi è chiaro. Cosa devo fare praticamente per capire a quale delle tre forme equivale?
individuata quella esatta va sostituita nell'equazione iniziale?

[Rosy19931]

avevo problemi con questo sistema, finchè non ho trovato questi esercizi svolti che mi hanno illuminata: http://www1.mate.polimi.it/~zucca/ita/d ... qdiff2.pdf
in pratica quando usi il metodo si somiglianza devi stare attento a non dimenticare la funzione \(\displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={A}{{e}}^{{\alpha{x}}} \)che "c'è anche quando non la vedi", cioè nel caso in cui \(\displaystyle {A}={1} \) e \(\displaystyle {\alpha}={0} \) e devi sempre controllare se l'\(\displaystyle {\alpha} \) in questione coincide o meno con le radici del polinomio caratteristico, dopo di che segui le istruzioni del sistema. Spero di averti aiutato, buono studio!!