Soluzione particolare di un equazione differenziale di ordine $n$

[Angus1956]

Sia $y^((n))=a_(n-1)(t)y^((n-1))+...+a_0(t)y+b(t)$ con $a_(n-1)(t),...,a_0(t),b(t):I->RR$ funzioni continue, vogliamo determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale usando il metodo di variazione della costante. Sia ${varphi_1,...,varphi_n}$ una base delle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea $y^((n))=a_(n-1)(t)y^((n-1))+...+a_0(t)y$, dobbiamo determinare le funzioni $c_1(t),...,c_n(t)inC^1(I,RR)$ tale che $varphi_p(t)=\sum_{k=1}^n c_k(t)varphi_k(t)$ (dove $varphi_p(t)$ è la soluzione particolare dell'equazione differenziale). Abbiamo che $phi_p(t)=(varphi_p(t),varphi_p'(t),...,varphi_p^((n-1))(t))$ è soluzione del sistema di equazioni differenziali di primo ordine associato a $y^((n))=a_(n-1)(t)y^((n-1))+...+a_0(t)y+b(t)$, mentre $phi_k(t)=(varphi_k(t),varphi_k'(t),...,varphi_k^((n-1))(t))$ è soluzione del sistema di equazioni differenziali omogenee di primo ordine associato a $y^((n))=a_(n-1)(t)y^((n-1))+...+a_0(t)y$. Per cui si ha che $phi_p(t)=phi(t)c(t)=\sum_{k=1}^n phi_k(t)c_k(t)$. Poi il resto del procedimento l'ho capito, volevo sapere se questa parte era giusta o meno, grazie.

[ingres]

Mi sembra tutto corretto.