Soluzione massimale eq. differenziale
Salve ho qualche tipo dubbio su questo tipo di esercizio:
-Si determini la soluzione massimale di \( y(x) \) del seguente problema di Cauchy
\( \begin{cases} y\prime(x)+\frac{y(x)}{x}=4x^2 \\ y(-1)=0 \end{cases} \)
e se ne tracci il grafico.
Allora la funzione \( f(x)=4x^2 \) è continua in tutto \( f(x)=4x^2 \) in tutto \( \mathbb{R} \) mentre \( a(x)=1/x \) è continua in \( (-\infty ,0)U(0,+\infty ) \). Siccome il problema ci fornisce il dato \( y(-1)=0 \) dobbiamo trovare le soluzioni in \( (-\infty ,0) \).
Troviamo la primitiva di \( a(x)=1/x \) per \( x<0 \) che è uguale a \( A(x)=\ln (-x) \) e calcoliamo l'integrale generale:
\( y(x)=x^3-c/x \)
Imponiamo la condizione del problema e troviamo la costante:
\( c=1 \)
e infine:
\( y(x)=x^3-1/x \) per \( x \) appartenenti a \( (-\infty ,0) \)
Qui sorgono i miei dubbi:
La soluzione massimale è quella che ho trovato?Cioe sarebbe la classica soluzione del problema di cauchy?
-Si determini la soluzione massimale di \( y(x) \) del seguente problema di Cauchy
\( \begin{cases} y\prime(x)+\frac{y(x)}{x}=4x^2 \\ y(-1)=0 \end{cases} \)
e se ne tracci il grafico.
Allora la funzione \( f(x)=4x^2 \) è continua in tutto \( f(x)=4x^2 \) in tutto \( \mathbb{R} \) mentre \( a(x)=1/x \) è continua in \( (-\infty ,0)U(0,+\infty ) \). Siccome il problema ci fornisce il dato \( y(-1)=0 \) dobbiamo trovare le soluzioni in \( (-\infty ,0) \).
Troviamo la primitiva di \( a(x)=1/x \) per \( x<0 \) che è uguale a \( A(x)=\ln (-x) \) e calcoliamo l'integrale generale:
\( y(x)=x^3-c/x \)
Imponiamo la condizione del problema e troviamo la costante:
\( c=1 \)
e infine:
\( y(x)=x^3-1/x \) per \( x \) appartenenti a \( (-\infty ,0) \)
Qui sorgono i miei dubbi:
La soluzione massimale è quella che ho trovato?Cioe sarebbe la classica soluzione del problema di cauchy?
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