Soluzione locale / massimale di un problema di cauchy
nel corso della ultime settimane vi ho chiesto altre volte delucidazioni su argomenti che riguardavano la soluzione di un problema di cauchy. Dopo un bel po' di letture mi sono rimasti dei dubbi che vorrei risolvere col vostro aiuto.
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' &= f(x,y)\\ y(x_0) & = y_0 \end{array} \right. \)
Quando si vuole avere la certezza che per un problema di cauchy esista unica la soluzione locale in un intorno di $(x_0)$ (o $t_0$ che dir si voglia) si può usare il teorema di Esistenza ed unicità in forma locale. Si controlla quindi se f(x,y) è definita e in particolare continua in un intorno di $(x_0,y_0)$ , e se f(x,y) è lipscitziana rispetto a y nell'intorno di $(x_0,y_0)$.
Affinchè il problema abbia soluzione la f dovrà essere definita e continua nell'intorno di $(x_0,y_0)$ , altrimenti non dovrebbe avere senso ricercare le soluzioni.
Il problema può invece crearlo la lipscitzianità locale. Una condizione sufficiente per poter concludere che f sia lipscitziana rispetto a y è che la derivata parziale rispetto a y di f sia continua in un intorno di $(x_0,y_0)$. Se ciò non fosse si deve provare a dimostrare la lipschitzianità direttamente applicando la definizione, e se si dimostrasse che la funzione non è lipschitziana, la soluzione potrebbe ancora essere unica nell'intorno di $x_0$ , ma il teorema non potrebbe garantirlo.
Detto ciò si cercano le soluzioni dell'equazione differenziale, si applicano le condizioni iniziali e:
-trovata una sola soluzione che rispetti le condizioni iniziali si potrà concludere che questa è soluzione unica del problema di cauchy almeno locale.
-trovate più soluzioni che si intersecano nel punto $(x_0,y_0)$ si dovrà dire che sono tutte soluzioni ammissibili
-trovate più soluzioni, ma solo una che rispetti la condizione iniziale dovrebbe essere lo stesso caso del primo punto.
Venniamo alla parte problematica: l'estendibilità delle soluzioni.
Si cerca l'intervallo massimale, che contenga $x_0$ e nel quale sia definita per ogni x, l'unica la soluzione al problema di Cauchy che rispetta la condizione iniziale.
Di conseguenza l'unica ipotesi fondamentali sulla f(x,y) è che (rispetto a x) sia definita in tutto il nuovo intervallo contenente $x_0$ , al contrario la lipschitzianità non è necessaria (essendo una condizione sufficiente) e quindi anche eventuali ipotesi sulla derivata prima di f rispetto ad y non compromettono l'estendibilità (ora spiego cosa intendo).
Per garantire a priori l'estendibilità massimale della soluzione, devo invece garantire la lipschitzianità della f(x,y) rispetto a y su tutto l'intervallo massimale. Una condizione sufficiente comoda è , nuovamente, la continuità della derivata di f(x,y) rispetto a y. E qui il dubbio: se nella derivata mi ritrovassi a dover mettere delle condizioni su x, perchè ad esempio mi finisce a denominatore, queste condizioni influirebbero in qualche modo sull'intervallo massimale? Personalmente sarei tentato di rispondere no, semplicemente eventuali condizioni su x nella derivata parizale, non mi permetterebbero di concludere nulla se queste x rientrano nell'intervallo massimale della funzione.
Spero di non aver scritto troppe imprecisioni e vi sarei davvero grato se leggeste tutto...avrei finalmente il quadro completo di un problema su cui penso da settimane. Grazie in ogni caso
(poi mi rimane da capire come trovare l'intervallo massimale per il secondo grado e avendo quindi due condizioni, ma penso aprirò un'altra discussione per evitare di decentrare il problema)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' &= f(x,y)\\ y(x_0) & = y_0 \end{array} \right. \)
Quando si vuole avere la certezza che per un problema di cauchy esista unica la soluzione locale in un intorno di $(x_0)$ (o $t_0$ che dir si voglia) si può usare il teorema di Esistenza ed unicità in forma locale. Si controlla quindi se f(x,y) è definita e in particolare continua in un intorno di $(x_0,y_0)$ , e se f(x,y) è lipscitziana rispetto a y nell'intorno di $(x_0,y_0)$.
Affinchè il problema abbia soluzione la f dovrà essere definita e continua nell'intorno di $(x_0,y_0)$ , altrimenti non dovrebbe avere senso ricercare le soluzioni.
Il problema può invece crearlo la lipscitzianità locale. Una condizione sufficiente per poter concludere che f sia lipscitziana rispetto a y è che la derivata parziale rispetto a y di f sia continua in un intorno di $(x_0,y_0)$. Se ciò non fosse si deve provare a dimostrare la lipschitzianità direttamente applicando la definizione, e se si dimostrasse che la funzione non è lipschitziana, la soluzione potrebbe ancora essere unica nell'intorno di $x_0$ , ma il teorema non potrebbe garantirlo.
Detto ciò si cercano le soluzioni dell'equazione differenziale, si applicano le condizioni iniziali e:
-trovata una sola soluzione che rispetti le condizioni iniziali si potrà concludere che questa è soluzione unica del problema di cauchy almeno locale.
-trovate più soluzioni che si intersecano nel punto $(x_0,y_0)$ si dovrà dire che sono tutte soluzioni ammissibili
-trovate più soluzioni, ma solo una che rispetti la condizione iniziale dovrebbe essere lo stesso caso del primo punto.
Venniamo alla parte problematica: l'estendibilità delle soluzioni.
Si cerca l'intervallo massimale, che contenga $x_0$ e nel quale sia definita per ogni x, l'unica la soluzione al problema di Cauchy che rispetta la condizione iniziale.
Di conseguenza l'unica ipotesi fondamentali sulla f(x,y) è che (rispetto a x) sia definita in tutto il nuovo intervallo contenente $x_0$ , al contrario la lipschitzianità non è necessaria (essendo una condizione sufficiente) e quindi anche eventuali ipotesi sulla derivata prima di f rispetto ad y non compromettono l'estendibilità (ora spiego cosa intendo).
Per garantire a priori l'estendibilità massimale della soluzione, devo invece garantire la lipschitzianità della f(x,y) rispetto a y su tutto l'intervallo massimale. Una condizione sufficiente comoda è , nuovamente, la continuità della derivata di f(x,y) rispetto a y. E qui il dubbio: se nella derivata mi ritrovassi a dover mettere delle condizioni su x, perchè ad esempio mi finisce a denominatore, queste condizioni influirebbero in qualche modo sull'intervallo massimale? Personalmente sarei tentato di rispondere no, semplicemente eventuali condizioni su x nella derivata parizale, non mi permetterebbero di concludere nulla se queste x rientrano nell'intervallo massimale della funzione.
Spero di non aver scritto troppe imprecisioni e vi sarei davvero grato se leggeste tutto...avrei finalmente il quadro completo di un problema su cui penso da settimane. Grazie in ogni caso
(poi mi rimane da capire come trovare l'intervallo massimale per il secondo grado e avendo quindi due condizioni, ma penso aprirò un'altra discussione per evitare di decentrare il problema)
Risposte
Per le questioni di estendibilità (esistenza globale) non c'è bisogno di richiedere che \(f\) sia Lipschitziana.
Faccio un esempio classico.
Se \(f: I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\), con \(I\subset\mathbb{R}\) intervallo, è continua, allora l'esistenza (non l'unicità) delle soluzioni è garantita dal teorema di Peano.
Se in più \(f\) è sublineare in \(y\), vale a dire se esistono due funzioni continue \(A, B:I\to\mathbb{R}\) tali che
\[
|f(x,y)| \leq A(x) |y| + B(x), \qquad \forall x\in I, y\in\mathbb{R}^n,
\]
allora le soluzioni sono prolungabili a tutto l'intervallo \(I\).
E' chiaro che se \(f\) è una funzione globalmente Lipschitziana rispetto alla \(y\) (unif. rispetto alla \(x\)) allora è anche sublineare.
Faccio un esempio classico.
Se \(f: I\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\), con \(I\subset\mathbb{R}\) intervallo, è continua, allora l'esistenza (non l'unicità) delle soluzioni è garantita dal teorema di Peano.
Se in più \(f\) è sublineare in \(y\), vale a dire se esistono due funzioni continue \(A, B:I\to\mathbb{R}\) tali che
\[
|f(x,y)| \leq A(x) |y| + B(x), \qquad \forall x\in I, y\in\mathbb{R}^n,
\]
allora le soluzioni sono prolungabili a tutto l'intervallo \(I\).
E' chiaro che se \(f\) è una funzione globalmente Lipschitziana rispetto alla \(y\) (unif. rispetto alla \(x\)) allora è anche sublineare.
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