Soluzione immediata di un integrale doppio

[matemalu]

Ciao a tutti ragazzi. Ho un problema con questo integrale:
$int_0^(+oo) e^(-x)dxint_0^x e^(-y)dy$
La professoressa ha detto che senza svolgere tutti i conti, posso dire subito che la soluzione è $1/2$.
Io ho pensato che $int_(-oo)^(+oo) e^(-x)dx = 1$ e quindi nell' intervallo $[0,+oo]$ il primo integrale dà $1/2$.
Mi potete aiutare, gentilmente? Grazie!!!!!

[Lory314]

"matemalu":
Io ho pensato che $int_(-oo)^(+oo) e^(-x)dx = 1$

Questo non è vero. Come puoi facilmente controllare $int_(-oo)^(+oo) e^(-x)dx = -e^{-x} |_{-oo}^{+oo} = +oo$.
Inoltre il tuo ragionamento è sbagliato. Poichè il secondo integrale (quello in $y$) dipende da $x$ (che compare come estremo di integrazione), devi prima risolvere quello in $y$ in modo da ottenere una funzione in $x$ che poi va a moltiplicare l'integranda dell'integrale in $x$. Potrebbe risultare il tutto più chiaro scrivendo gli integrali uno dentro l'altro
$
int_(-oo)^(+oo) e^(-x) ( int_0^x e^(-y) dy ) dx
$

La soluzione si ottieni svolgendo facilmente i due integrali partendo da quello in $y$:
$int_0^x e^(-y)dy = -e^{-y}|_0^x = -e^{-x} + 1$
Quindi ora
$ int_0^(+oo) e^(-x)(-e^{-x} + 1) dx = -int_0^(+oo) (e^(-x))^2dx+ int_0^(+oo) e^(-x)dx = -1/2 +1 = 1/2$

[matemalu]

Svolgendo i conti, giungo anche io allo stesso risultato. Ma la prof mi ha detto che posso conoscere la soluzione senza svolgere i conti. è questo il mio problema!