Soluzione equazione in campo Complesso
Ciao, ho dei problemi nella risoluzione di un'equazione di secondo grado in campo complesso. Ecco il testo:
$z^2-(2+3i)*z+6i=0$
Il prof in un solopassaggio, e senza giustificarlo, da come soluzioni:
$z=2$
$z=3i$
Ecco un altro esempio, più difficile, che comunque credo sia basato sullo stesso ragionamento:
$[z^2+(2+i*root(2)(2)+3i)*z+(2i-root(2)(2))*3]=0$
La cui soluzione è:
$z_{1}=-2-i*root(2)(2)$
$z_{2}=-3i$
Credo che sia un ragionamento di tipo puramente algebrico. Potreste spiegarmi come si arriva a questa soluzione?
Grazie, ciao!
$z^2-(2+3i)*z+6i=0$
Il prof in un solopassaggio, e senza giustificarlo, da come soluzioni:
$z=2$
$z=3i$
Ecco un altro esempio, più difficile, che comunque credo sia basato sullo stesso ragionamento:
$[z^2+(2+i*root(2)(2)+3i)*z+(2i-root(2)(2))*3]=0$
La cui soluzione è:
$z_{1}=-2-i*root(2)(2)$
$z_{2}=-3i$
Credo che sia un ragionamento di tipo puramente algebrico. Potreste spiegarmi come si arriva a questa soluzione?
Grazie, ciao!
Risposte
Devi riconoscere dei trinomi particolari:
io non ho mai affrontato equazioni in campo complesso ma credo che valgano le stesse regole dei reali con l'accortezza di ricordarsi che $i^2=-1$.
il trinomio può essere scomposto: $(z-z1)(z-z2)=z^2-(z1+z2)z+z1*z2$
per la prima si riconosce subito che il coefficiente delle x, b è già scritto in questa forma infatti risulta: $b=-(2+3i)$
poi osservi anche che il termine noto è gia scritto in questa forma infatti risulta $c=6i$
devi trovare la coppia di valori che sommati danno $-(2+3i)$ e moltiplicati danno $6i$ che sono proprio $2$ e $-ri$
da cui: $(z-2)(z-3i)=z^2-(2+3i)z+6i$
per il secondo il ragionamento è analogo
io non ho mai affrontato equazioni in campo complesso ma credo che valgano le stesse regole dei reali con l'accortezza di ricordarsi che $i^2=-1$.
il trinomio può essere scomposto: $(z-z1)(z-z2)=z^2-(z1+z2)z+z1*z2$
per la prima si riconosce subito che il coefficiente delle x, b è già scritto in questa forma infatti risulta: $b=-(2+3i)$
poi osservi anche che il termine noto è gia scritto in questa forma infatti risulta $c=6i$
devi trovare la coppia di valori che sommati danno $-(2+3i)$ e moltiplicati danno $6i$ che sono proprio $2$ e $-ri$
da cui: $(z-2)(z-3i)=z^2-(2+3i)z+6i$
per il secondo il ragionamento è analogo
Grazie per la risposta 
Per il primo caso ci sono. Riesco a vedere la scomposizione dell'equazione di partenza nel corrispondente trinomio caratteristico. Tuttavia per la seconda equazione proprio non riesco a sviluppare tutti i passaggi che portano al risultato finale. So che chiedo molto, ma potreste scrivere l'intero svolgimento della seconda equazione? Grazie davvero!
Per il primo caso ci sono. Riesco a vedere la scomposizione dell'equazione di partenza nel corrispondente trinomio caratteristico. Tuttavia per la seconda equazione proprio non riesco a sviluppare tutti i passaggi che portano al risultato finale. So che chiedo molto, ma potreste scrivere l'intero svolgimento della seconda equazione? Grazie davvero!
$[z^2+(2+i*root(2)(2)+3i)*z+(2i-root(2)(2))*3]=0$
Il testo può essere trasformato in $[z^2+(2+i*root(2)(2))*z+3iz+3(2i+i^2root(2)(2))]=0$ nota che ho spezzato il termine di primo grado e ho trasformato un $-1$ in $i^2$
Adesso con i raccoglimenti
$z(z+2+i*root(2)(2))+3i(z+2+i*root(2)(2))=0$
$(z+3i)(z+2+i*root(2)(2))=0$
Il testo può essere trasformato in $[z^2+(2+i*root(2)(2))*z+3iz+3(2i+i^2root(2)(2))]=0$ nota che ho spezzato il termine di primo grado e ho trasformato un $-1$ in $i^2$
Adesso con i raccoglimenti
$z(z+2+i*root(2)(2))+3i(z+2+i*root(2)(2))=0$
$(z+3i)(z+2+i*root(2)(2))=0$
"@melia":
$[z^2+(2+i*root(2)(2)+3i)*z+(2i-root(2)(2))*3]=0$
Il testo può essere trasformato in $[z^2+(2+i*root(2)(2))*z+3iz+3(2i+i^2root(2)(2))]=0$ nota che ho spezzato il termine di primo grado e ho trasformato un $-1$ in $i^2$
Adesso con i raccoglimenti
$z(z+2+i*root(2)(2))+3i(z+2+i*root(2)(2))=0$
$(z+3i)(z+2+i*root(2)(2))=0$
Cavolo non ci avrei mai pensato! Devo dire che ci vuole buon occhio per vedere certe trasformazioni. Grazie mille per l'aiuto...ciao!!
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