Soluzione equazione differenziale omogenea
Salve a tutti 
Devo risolvere la seguente equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti
[tex]\ddot{\theta} + \omega_n^2 \theta = 0[/tex]
La soluzione, se non sbaglio, dovrebbe essere
[tex]\theta (t) = A \cos(\omega_n t)+B\sin (\omega_n t)[/tex]
corretto?
Nelle soluzioni, invece, trovo
[tex]\theta (t) = A \cos(\omega_n t + \varphi)[/tex]
Forse c'è qualceh passaggio trigonometrico che mi sfugge, sapete indicarmi la via per arrivare dalla mia soluzione a quella proposta?
Devo risolvere la seguente equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti
[tex]\ddot{\theta} + \omega_n^2 \theta = 0[/tex]
La soluzione, se non sbaglio, dovrebbe essere
[tex]\theta (t) = A \cos(\omega_n t)+B\sin (\omega_n t)[/tex]
corretto?
Nelle soluzioni, invece, trovo
[tex]\theta (t) = A \cos(\omega_n t + \varphi)[/tex]
Forse c'è qualceh passaggio trigonometrico che mi sfugge, sapete indicarmi la via per arrivare dalla mia soluzione a quella proposta?
Risposte
Sarà per via delle condizioni al contorno, anche perchè lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione lineare di ordine $2$ ha dimensione $2$; le soluzioni che hai scritto invece dipendono da un solo parametro.
"Giuly19":
Sarà per via delle condizioni al contorno, anche perchè lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione lineare di ordine $2$ ha dimensione $2$; le soluzioni che hai scritto invece dipendono da un solo parametro.
Nono, dipendono da due parametri, la prima da A e B, la seconda da A e [tex]\varphi[/tex].
Dovrebbe essere una soluzione generica, senza quindi particolari condizioni a contorno.
Prova ad applicare la formula di addizione del coseno alla seconda forma della soluzione: ti accorgerai che c'è un modo ovvio per passare dall'una all'altra forma della soluzione generale.
Trovata Effettivamente il passaggio inverso è particolarmente ovvio, è quello diretto che è un pò più difficile da vedere 
Grazie mille
Effettivamente il passaggio inverso è particolarmente ovvio, è quello diretto che è un pò più difficile da vedere Grazie mille
Prego. Giusto per una tua curiosità personale, in genere quando si lavora con moti armonici (quella equazione descrive appunto il moto del pendolo semplice linearizzato) capita sempre di trovare le soluzioni espresse per via di una sola funzione trigonometrica, per ragioni pratiche: infatti in questo modo risulta più semplice determinare ampiezza massima e fase dell'oscillazione mentre, se scrivessi la soluzione usando la forma "standard" che hai posto tu, dovresti calcolare esplicitamente questi due valori a partire dalle costanti: si ha infatti che l'ampiezza massima vale [tex]$\sqrt{A^2+B^2}$[/tex], mentre la fase è pari a [tex]$-\arctan\frac{B}{A}$[/tex].
Chiarissimo Grazie mille!!
Grazie mille!!
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