Soluzione equazione differenziale del II ordine omogenea
Salve a tutti,
avrei un piccolo problema per quanto riguarda la soluzione di una equazione differenziale del II ordine omogenea del tipo:
\(\displaystyle M\ddot{q}+K\dot{q}=0 \)
Sappiamo tutti che la soluzione è data dalla sonma di un seno e di un coseno, nel libbro viene però data questa soluzione:
\(\displaystyle q=\phi\exp{j\omega t} \)
ovviamente non la condivido e vorrei capire il motivo di tale soluzione offerta dal libbro. MI sapreste dare una mano?
Grazie.
avrei un piccolo problema per quanto riguarda la soluzione di una equazione differenziale del II ordine omogenea del tipo:
\(\displaystyle M\ddot{q}+K\dot{q}=0 \)
Sappiamo tutti che la soluzione è data dalla sonma di un seno e di un coseno, nel libbro viene però data questa soluzione:
\(\displaystyle q=\phi\exp{j\omega t} \)
ovviamente non la condivido e vorrei capire il motivo di tale soluzione offerta dal libbro. MI sapreste dare una mano?
Grazie.
Risposte
Scusami, un esponenziale complesso non è, sotto sotto, una somma di seni e coseni?
Immagino ci sia un errore nel testo... credo tu ti riferisca all'equazione dell'oscillatore armonico
\[ M \ddot{q} + K q = 0. \]
L'equazione che hai proposto
\[ M \ddot{q} + K \dot{q} = 0 \]
non ammette come soluzione somme di seni e coseni. In particolare, si verifica immediatamente che la funzione
\[
q(t) := q_0 - v_0 \frac{M}{K} (e^{-\frac{K}{M}t}-1)
\]
è soluzione del problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
M \ddot{q} + K \dot{q} = 0 \\
q(0) = q_0\\
\dot{q}(0) = v_0.
\end{cases}
\]
Si tratta di un esponenziale reale (quindi niente oscillazioni, per intenderci), e ovviamente a seconda dei segni di \( K \) e \( M \) si trovano comportamenti asintotici ben diversi.
\[ M \ddot{q} + K q = 0. \]
L'equazione che hai proposto
\[ M \ddot{q} + K \dot{q} = 0 \]
non ammette come soluzione somme di seni e coseni. In particolare, si verifica immediatamente che la funzione
\[
q(t) := q_0 - v_0 \frac{M}{K} (e^{-\frac{K}{M}t}-1)
\]
è soluzione del problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
M \ddot{q} + K \dot{q} = 0 \\
q(0) = q_0\\
\dot{q}(0) = v_0.
\end{cases}
\]
Si tratta di un esponenziale reale (quindi niente oscillazioni, per intenderci), e ovviamente a seconda dei segni di \( K \) e \( M \) si trovano comportamenti asintotici ben diversi.
\(\displaystyle \)Ciao,
grazie a tutti per le risposte, ho commesso un errore durante la digitazion ed è esattamente un oscillatore armonico. Grazie per la correzione. Il testo la risolve in questo modo:
\(\displaystyle (M\omega^2+ K)\phi e^{j\omega t} = 0 \)
Infatti non riesco a capire l'esponenziale complesso. Fosse l'esponenziale reale sarei anche d'accordo!!!
Grazie.
grazie a tutti per le risposte, ho commesso un errore durante la digitazion ed è esattamente un oscillatore armonico. Grazie per la correzione. Il testo la risolve in questo modo:
\(\displaystyle (M\omega^2+ K)\phi e^{j\omega t} = 0 \)
Infatti non riesco a capire l'esponenziale complesso. Fosse l'esponenziale reale sarei anche d'accordo!!!
Grazie.
Se si tratta di un oscillatore armonico, allora deve essere \( M \neq 0 \) e \( \displaystyle \frac{K}{M} > 0 \). In questo caso, l'integrale generale di
\[ M \ddot{q} + K q = 0 \]
è proprio
\[ q(t) := c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t}, \]
dove si è posto
\[ \omega := \sqrt{\frac{K}{M}}, \]
e le costanti \( c_1 \) e \( c_2 \) sono da determinarsi imponendo i dati iniziali. Questa soluzione è equivalente ad una combinazione lineare di seno e coseno, come si vede usando la formula di Eulero
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x. \]
\[ M \ddot{q} + K q = 0 \]
è proprio
\[ q(t) := c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t}, \]
dove si è posto
\[ \omega := \sqrt{\frac{K}{M}}, \]
e le costanti \( c_1 \) e \( c_2 \) sono da determinarsi imponendo i dati iniziali. Questa soluzione è equivalente ad una combinazione lineare di seno e coseno, come si vede usando la formula di Eulero
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x. \]
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