Soluzione equazione differenziale
Ciao a tutti,
sono nuovo di questo forum. Anche se non sembra (o non sembrerà a breve) sono un appassionato di matematica. Avrei appunto un problema che da un paio di giorni mi sta dando tanti grattacapi. Devo trovare le soluzioni di un'equazione differenziale. Il concetto non è un problema, credo di averLe fatte mie. Il problema risiede qui, nel calcolo.
Posso generalizzarvi il problema, in quanto io l'ho trovato nello studio dell'integrale di una differenziale del secondo ordine, ma va bene anche per quelle di ordine diverso.
Si ha questa equazione differenziale: y'(x) = $ exp (y(x)) $ + g(x)
Ebbene, non so come muovermi, per il solo fatto di avere la y(x) in quel di un esponenziale. Ho provato a dirVi la verità ad impostare il tutto in tal modo:
- sono passato ai ln per "bypassare" il problema:
ln (y'(x)) = y(x) + ln(g(x))
per semplificare il succo, impongo g(x) = 0
A(x) = primitiva di a(x) = primitiva di a(x) ... in tal caso a(x) = 1... A(x) = x
dunque: y(x) = c * $ exp (-x) $... Ma questa è la soluzione per ln (y'(x)), non per y'(x)...
Togliendo il ln verrebbe un esponenziale di un esponenziale... Onde per cui credo il mio ragionamento sia errato.
Se potreste darmi una mano, Vi sarei grato..
Saluto a tutti, Anto
sono nuovo di questo forum. Anche se non sembra (o non sembrerà a breve) sono un appassionato di matematica. Avrei appunto un problema che da un paio di giorni mi sta dando tanti grattacapi. Devo trovare le soluzioni di un'equazione differenziale. Il concetto non è un problema, credo di averLe fatte mie. Il problema risiede qui, nel calcolo.
Posso generalizzarvi il problema, in quanto io l'ho trovato nello studio dell'integrale di una differenziale del secondo ordine, ma va bene anche per quelle di ordine diverso.
Si ha questa equazione differenziale: y'(x) = $ exp (y(x)) $ + g(x)
Ebbene, non so come muovermi, per il solo fatto di avere la y(x) in quel di un esponenziale. Ho provato a dirVi la verità ad impostare il tutto in tal modo:
- sono passato ai ln per "bypassare" il problema:
ln (y'(x)) = y(x) + ln(g(x))
per semplificare il succo, impongo g(x) = 0
A(x) = primitiva di a(x) = primitiva di a(x) ... in tal caso a(x) = 1... A(x) = x
dunque: y(x) = c * $ exp (-x) $... Ma questa è la soluzione per ln (y'(x)), non per y'(x)...
Togliendo il ln verrebbe un esponenziale di un esponenziale... Onde per cui credo il mio ragionamento sia errato.
Se potreste darmi una mano, Vi sarei grato..
Saluto a tutti, Anto
Risposte
Benvenuto in questo forum, ci si parla al tu; da premettere.
Vienamo al quesito a cui premetto la mia proverbiale frase: Le Equazioni Differenziali Si Studiano Prima Eppoi Si Risolvono!
Hai l'equazione "generica" [tex]\dot y(x)=e^{y(x)}+z(x)[/tex] con z funzione reale in una variabile reale (precisiamolo) altrimenti potremmo essere nel campo complesso; inoltre per nostra comodità la z sia una funzione continua.
Volendo scrivere [tex]\log\dot y(x)=\log[e^{y(x)}+z(x)][/tex] si deve imporre che sia [tex]e^{y(x)}+z(x)[/tex] una funzione a valori non negativi ed inoltre il passaggio da te postato è sbagliato poiché il logaritmo di una somma di numeri positivi non è la somma dei loro logaritmi.
Scegliendo che sia z la funzione costantemente nulla puoi scrivere [tex]\log\dot y(x)=y(x)[/tex] ma a che pro?
Vienamo al quesito a cui premetto la mia proverbiale frase: Le Equazioni Differenziali Si Studiano Prima Eppoi Si Risolvono!
Hai l'equazione "generica" [tex]\dot y(x)=e^{y(x)}+z(x)[/tex] con z funzione reale in una variabile reale (precisiamolo) altrimenti potremmo essere nel campo complesso; inoltre per nostra comodità la z sia una funzione continua.
Volendo scrivere [tex]\log\dot y(x)=\log[e^{y(x)}+z(x)][/tex] si deve imporre che sia [tex]e^{y(x)}+z(x)[/tex] una funzione a valori non negativi ed inoltre il passaggio da te postato è sbagliato poiché il logaritmo di una somma di numeri positivi non è la somma dei loro logaritmi.
Scegliendo che sia z la funzione costantemente nulla puoi scrivere [tex]\log\dot y(x)=y(x)[/tex] ma a che pro?
Ciao e ti ringrazio per avermi risposto;
da presupporre che il mio era solo un tentativo per risolvere quel genere di equazioni differenziali, evidentemente errato.
Possiamo pensare insieme ad una soluzione per questa equazione..
y'(x) = $ exp y(x) $ + z(x)
porrei z(x) = 0, così non lo consideriamo. Tanto il fulcro del problema in tal caso risiede nel fatto di trovarci di fronte all'esponenziale.
Dunque si ha
y'(x) = $ exp y(x) $
Io non so come muovermi..e sono giorni che ci penso..
Spero arriviamo ad una soluzione...
Grazie, AAnto
da presupporre che il mio era solo un tentativo per risolvere quel genere di equazioni differenziali, evidentemente errato.
Possiamo pensare insieme ad una soluzione per questa equazione..
y'(x) = $ exp y(x) $ + z(x)
porrei z(x) = 0, così non lo consideriamo. Tanto il fulcro del problema in tal caso risiede nel fatto di trovarci di fronte all'esponenziale.
Dunque si ha
y'(x) = $ exp y(x) $
Io non so come muovermi..e sono giorni che ci penso..
Spero arriviamo ad una soluzione...
Grazie, AAnto
scusami, ma non vedo dov'è il problema.
L'omogenea la puoi integrare per separazione delle variabili, avendo:
$dy/e^y = dx => -e^(-y) = x+c => y = -ln( -x-c ) $
Non è molto bello a vedere ma comunque è una primitiva dell'omogenea. A questo punto col metodo della variazione delle costanti non dovresti avere grosse difficoltà a trovare la soluzione particolare.
Potesti postare l'equazione che ti dà problemi?
L'omogenea la puoi integrare per separazione delle variabili, avendo:
$dy/e^y = dx => -e^(-y) = x+c => y = -ln( -x-c ) $
Non è molto bello a vedere ma comunque è una primitiva dell'omogenea. A questo punto col metodo della variazione delle costanti non dovresti avere grosse difficoltà a trovare la soluzione particolare.
Potesti postare l'equazione che ti dà problemi?
Ti ringrazio per la risposta.
Ma se non fosse z(x) = 0, cioè
y'(x) = $ exp y(x) $ + z(x)
cioè, a mò di esempio..
y'(x) = $ exp y(x) $ + 4x
Come mi muovo?
Adesso non vi è più la possibilità di separare le variabili, o sono io che cado su una buccia di banana?!?
AAnto
Ma se non fosse z(x) = 0, cioè
y'(x) = $ exp y(x) $ + z(x)
cioè, a mò di esempio..
y'(x) = $ exp y(x) $ + 4x
Come mi muovo?
Adesso non vi è più la possibilità di separare le variabili, o sono io che cado su una buccia di banana?!?
AAnto
Ok ora lo sto cominciando a vedere il problema 
La soluzione dev'essere definita nell'intorno di qualche punto?
La soluzione dev'essere definita nell'intorno di qualche punto?
Se mi dai l'equazione completa forse riesco a trovarti una soluzione per il tuo caso specifico.
Purtroppo quest'equazione non è nella forma ideale per usare il metodo della variazione delle costanti, però forse ho trovato un metodo
Purtroppo quest'equazione non è nella forma ideale per usare il metodo della variazione delle costanti, però forse ho trovato un metodo
Non è specificato niente..anzi, devo pure specificare se le soluzioni sono crescenti, decrescenti, convesse, costanti..etc
AAnto
AAnto
L'equazione è quella di cui sopra..
y'(x) = $ exp (y(x)) $ + 4x
AAnto
y'(x) = $ exp (y(x)) $ + 4x
AAnto
Nessuno ha qualche idea?!
AAnto
AAnto
Per studiare la crescenza (e la decrescenza) della soluzione devi studiarne la derivata: l'esercizio te la fornisce già ma in maniera implicita. A rigore: [tex]\dot y(x)>0[/tex] ovvero [tex]e^{y(x)}+4x>0[/tex], hai una disequazione nelle incognite [tex]y(x)[/tex] ed [tex]x[/tex], la risolvi rispetto alla [tex]y(x)[/tex] e rappresenti la soluzione in un piano coordinato con un riferimento ortonormale il cui primo asse è [tex]x[/tex] ed il secondo asse è [tex]y(x)[/tex]. Analogo discorso con la decrescenza e per il calcolo dei punti stazionari!
Se tu non avessi capito cosa fare ti posterei i passaggi!
Se tu non avessi capito cosa fare ti posterei i passaggi!
Dunque, da quanto ho capito (ma mi dovrai gentilmente aiutare, perchè non sono affatto sicuro di aver capito),
devo studiare il segno della derivata prima..cioè
y'(x) > 0 _______ $ exp y(x) $ + 4x > 0
y(x) > - $ ln (4x) $
e poi?'
Spero almeno che sino qui sia giusta..
grazie,
AAnto
devo studiare il segno della derivata prima..cioè
y'(x) > 0 _______ $ exp y(x) $ + 4x > 0
y(x) > - $ ln (4x) $
e poi?'
Spero almeno che sino qui sia giusta..
grazie,
AAnto
Posto io: deve essere [tex]e^{y(x)}+4x>0[/tex]; se fosse [tex]x\geq0[/tex] tale disequazione sarebbe banalmente vera (la somma di quantità positive è un numero positivo) quindi la soluzione è crescente per [tex]x\geq0[/tex], se fosse [tex]x<0[/tex] sarebbe [tex]e^{y(x)}>-4x\,(è >0)[/tex], da ciò: [tex]y(x)>\log(-4x)[/tex] quindi la soluzione è crescente anche per [tex]\begin{cases}x<0\\y(x)>\log(-4x)\end{cases}[/tex].
..ti ringrazio..credo d'aver capito..
solo un punto però..
Abbiamo posto che la soluzione è sempre crescente..
ma La soluzione qual'è?!?..come si trova?
AAnto
solo un punto però..
Abbiamo posto che la soluzione è sempre crescente..
ma La soluzione qual'è?!?..come si trova?
AAnto
No, abbiamo determinato gl'insiemi di crescenza, decrescenza e di stazionarietà della soluzione. Quale sia la soluzione o come la si calcoli lo ignoro; ora puoi capire la mia proverbiale sentenza che le ODE si studiano prima eppoi si risolvono!
..forse sono riuscito a risolverla..tra un pò posterò la soluzione..
Ciao AAnto. Potresti gentilmente postare la tua soluzione dell'eq. differenziale, se l'hai trovata? Perchè mi sono imbattuto anch'io in un problema simile.
Grazie mille.
G.
Grazie mille.
G.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo