Soluzione equazione differenziale
Ragazzi ci sto ragionando su....ma nulla di concreto...
Come si risolv questa equazione differenziale:
$y''-3y'-18y^2=e^x$
Grazie
Come si risolv questa equazione differenziale:
$y''-3y'-18y^2=e^x$
Grazie
Risposte
"Conte_De_Saint_venant":
Ragazzi ci sto ragionando su....ma nulla di concreto...
Come si risolv questa equazione differenziale:
$y''-3y'-18y^2=e^x$
Grazie
Sei sicuro che l'equazione sia questa?
"franced":
[quote="Conte_De_Saint_venant"]Ragazzi ci sto ragionando su....ma nulla di concreto...
Come si risolv questa equazione differenziale:
$y''-3y'-18y^2=e^x$
Grazie
Sei sicuro che l'equazione sia questa?[/quote]
A che cosa pensi, Francesco? $y''-3y'-18y=e^x$ (del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti)?
"Paolo90":
[quote="franced"][quote="Conte_De_Saint_venant"]Ragazzi ci sto ragionando su....ma nulla di concreto...
Come si risolv questa equazione differenziale:
$y''-3y'-18y^2=e^x$
Grazie
Sei sicuro che l'equazione sia questa?[/quote]
A che cosa pensi, Francesco? $y''-3y'-18y=e^x$ (del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti)?
[/quote]Sì, pensavo proprio a quella che hai scritto te.
[
....in effetti non era quella ....era senza il quadro ......
lineare secondo ordine a coefficienti costanti.....
Questo post quindi perde di interesse....
Grazie comunque
....in effetti non era quella ....era senza il quadro ......
lineare secondo ordine a coefficienti costanti.....
Questo post quindi perde di interesse....
Grazie comunque
Un post che perde d'interesse qui su matematicamente?! Stai scherzando? Poi un post sulle equazioni differenziali... Tranquillo, Conte; piuttosto, approfitto dell'occasione per ripassare un po'.
Risolviamo $y''-3y'-18y=e^x$. Anzitutto risolviamo la (banale) equazione omogenea associata:
$y''-3y'-18y=0$
$lambda^2-3lambda-18=0$
$lambda_(1)=6->e^(6x)$
$lambda_(2)=-3->e^(-3x)$
Una generica combinazione lineare delle due funzioni ora trovate costituisce l'integrale generale della omogenea.
$y=c_1e^(6x)+c_2e^(-3x)$
Si tratta adesso di trovare un integrale particolare della non omogenea; una volta che l'avremo trovato sarà sufficiente aggiungerlo a questo int. gen. e avremo così l'espressione dell'integrale generale dell'equazione completa.
Con un po' di occhio - e un po' di fortuna - si vede che se prendiamo $y=-1/20e^x$ e lo sostituiamo nell'equazione di partenza otteniamo un'identità; infatti, dato che
$y=-1/20e^x$
$y'=y''=y=-1/20e^x$ (per le note proprietà di derivazione dell'esponenziale)
il primo membro diventa
$-1/20e^x+3/20e^x+18/20e^x=20/20e^x=e^x$
che è proprio il secondo membro.
Dunque, senza molta fatica troviamo che l'int. generale è $y=c_1e^(6x)+c_2e^(-3x)-1/20e^x$.
Che ne dite? Spero di non aver commesso sciocchezze...
Ovviamente la seconda parte si poteva fare con il (ben più lungo) metodo della variazione delle costanti arbitrarie (insomma, per intenderci, Lagrange).
Ma, a volte, l'occhio aiuta...
Risolviamo $y''-3y'-18y=e^x$. Anzitutto risolviamo la (banale) equazione omogenea associata:
$y''-3y'-18y=0$
$lambda^2-3lambda-18=0$
$lambda_(1)=6->e^(6x)$
$lambda_(2)=-3->e^(-3x)$
Una generica combinazione lineare delle due funzioni ora trovate costituisce l'integrale generale della omogenea.
$y=c_1e^(6x)+c_2e^(-3x)$
Si tratta adesso di trovare un integrale particolare della non omogenea; una volta che l'avremo trovato sarà sufficiente aggiungerlo a questo int. gen. e avremo così l'espressione dell'integrale generale dell'equazione completa.
Con un po' di occhio - e un po' di fortuna - si vede che se prendiamo $y=-1/20e^x$ e lo sostituiamo nell'equazione di partenza otteniamo un'identità; infatti, dato che
$y=-1/20e^x$
$y'=y''=y=-1/20e^x$ (per le note proprietà di derivazione dell'esponenziale)
il primo membro diventa
$-1/20e^x+3/20e^x+18/20e^x=20/20e^x=e^x$
che è proprio il secondo membro.
Dunque, senza molta fatica troviamo che l'int. generale è $y=c_1e^(6x)+c_2e^(-3x)-1/20e^x$.
Che ne dite? Spero di non aver commesso sciocchezze...
Ovviamente la seconda parte si poteva fare con il (ben più lungo) metodo della variazione delle costanti arbitrarie (insomma, per intenderci, Lagrange).
Ma, a volte, l'occhio aiuta...
"Paolo90":
.
Con un po' di occhio - e un po' di fortuna - si vede che se prendiamo $y=-1/20e^x$ e lo sostituiamo nell'equazione di partenza otteniamo un'identità; infatti, dato che
$y=-1/20e^x$
...............
Ovviamente la seconda parte si poteva fare con il (ben più lungo) metodo della variazione delle costanti arbitrarie (insomma, per intenderci, Lagrange).
Ma, a volte, l'occhio aiuta...
.....scusa è dimostrato e ridimostrato che l'integgrale particolare per $e^x$ visto che 1 non è soluzione dell'omogenea è del tipo $A_1*e^x$.....derivi e sostituisci e calcoli A_1....
Comunque grazie per l'interesse
"Conte_De_Saint_venant":
[
....in effetti non era quella ....era senza il quadro ......
Avevo intuito bene..
"Conte_De_Saint_venant":
[quote="Paolo90"].
Con un po' di occhio - e un po' di fortuna - si vede che se prendiamo $y=-1/20e^x$ e lo sostituiamo nell'equazione di partenza otteniamo un'identità; infatti, dato che
$y=-1/20e^x$
...............
Ovviamente la seconda parte si poteva fare con il (ben più lungo) metodo della variazione delle costanti arbitrarie (insomma, per intenderci, Lagrange).
Ma, a volte, l'occhio aiuta...
.....scusa è dimostrato e ridimostrato che l'integgrale particolare per $e^x$ visto che 1 non è soluzione dell'omogenea è del tipo $A_1*e^x$.....derivi e sostituisci e calcoli A_1....
Comunque grazie per l'interesse[/quote]
Figurati. Sì, è vero, quella è la giustificazione formale dietro il mio metodo. Ma qui è stata questione di fortuna, ho azzeccato quasi subito (andando per tentativi) il coefficiente dell'esponenziale.
Complimenti, poi, a Francesco per l'intuizione.
Paolo
La cosa interessante sarebbe stata appunto risolvere l'equazione scritta (sbagliata) dal Conte...Però essendo non lineare di ordine maggiore di uno...mah...
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