Soluzione equazione
Salve, ho questa equazione che non so come risolvere:
Scrivo fin dove mi sono inceppato, comunque credo che non sia l'approccio coretto.
\(\displaystyle \arctan\left(1+\frac{3}{x}\right)=x\left|1+\frac{3}{x}\right| \)
\(\displaystyle \tan\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-\frac{3}{x}=1 \)
\(\displaystyle {\sin\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)\over\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)}-\frac{3}{x}=1 \)
\(\displaystyle {x\sin\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-3\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)\over x\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)}=1 \) (denominatore comune)
\(\displaystyle x\sin\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-3\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-x\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)=0 \) (se il rapporto è 1, fattori uguali, differenza 0)
Considero l'argomento del valore assoluto \(\displaystyle >= \) 0
\(\displaystyle x\sin(x+3)-3\cos(x+3)-x\cos(x+3)=0 \)
\(\displaystyle \sin(x+3)*x-\cos(x+3)*(x+3)=0 \)
\(\displaystyle \arctan\left(1+\frac{3}{x}\right)-x\left|1+\frac{3}{x}\right|=0 \)
Scrivo fin dove mi sono inceppato, comunque credo che non sia l'approccio coretto.
\(\displaystyle \arctan\left(1+\frac{3}{x}\right)=x\left|1+\frac{3}{x}\right| \)
\(\displaystyle \tan\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-\frac{3}{x}=1 \)
\(\displaystyle {\sin\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)\over\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)}-\frac{3}{x}=1 \)
\(\displaystyle {x\sin\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-3\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)\over x\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)}=1 \) (denominatore comune)
\(\displaystyle x\sin\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-3\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-x\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)=0 \) (se il rapporto è 1, fattori uguali, differenza 0)
Considero l'argomento del valore assoluto \(\displaystyle >= \) 0
\(\displaystyle x\sin(x+3)-3\cos(x+3)-x\cos(x+3)=0 \)
\(\displaystyle \sin(x+3)*x-\cos(x+3)*(x+3)=0 \)
Risposte
Secondo me ti conviene porre $t:=1+3/x\in RR"\"\{1\}$ (da cui $x=3/(t-1)$) e poi farti uno studietto di funzione.
L'equazione da studiare diviene
\[\arctan t=\underbrace{\dfrac{3|t|}{t-1}}_{=:f(t)}\]
Ora è immediato che $t=0$ (cioè $x=-3$) è una soluzione. Se poi $t>1$ hai $f(t)>3>"arctan"\ t$, mentre se $t\in (0,1)$ è $f(t)<0< "arctan"\ t$, dunque tra i positivi non ci sono altre soluzioni. Non voglio privarti dell'immenso piacere di verificare se ve ne sono altre tra i negativi
L'equazione da studiare diviene
\[\arctan t=\underbrace{\dfrac{3|t|}{t-1}}_{=:f(t)}\]
Ora è immediato che $t=0$ (cioè $x=-3$) è una soluzione. Se poi $t>1$ hai $f(t)>3>"arctan"\ t$, mentre se $t\in (0,1)$ è $f(t)<0< "arctan"\ t$, dunque tra i positivi non ci sono altre soluzioni. Non voglio privarti dell'immenso piacere di verificare se ve ne sono altre tra i negativi
Non capisco da dove deduci la soluzione \(\displaystyle t=0 \). È troppo particolare. Mi sembra un po come dire: devo risolvere l'equazione \(\displaystyle e^x=x+1 \). Non ho idea di come fare, proviamo un valore a caso: 0. Ok, è soluzione fine.
Il mio procedimento per risolvere sarebbe come prima:
\(\displaystyle \tan{3|t|\over t-1}=t \)
\(\displaystyle {\sin{3|t|\over t-1}\over\cos{3|t|\over t-1}}=t \)
Come si fa a risolvere un'equazione del genere?
Il mio procedimento per risolvere sarebbe come prima:
\(\displaystyle \tan{3|t|\over t-1}=t \)
\(\displaystyle {\sin{3|t|\over t-1}\over\cos{3|t|\over t-1}}=t \)
Come si fa a risolvere un'equazione del genere?
"biowep":
Non capisco da dove deduci la soluzione $t=0$. È troppo particolare.
...la deduco dal fatto che sia il membro destro che il sinistro s'annullano in zero, a occhio.
"biowep":
Mi sembra un po come dire: devo risolvere l'equazione $e^x=x+1$. Non ho idea di come fare, proviamo un valore a caso: 0. Ok, è soluzione fine.
Come trovi la soluzione $x=0$ se non "a occhio"?
"Fine" se il tuo scopo è trovare una soluzione, non hai finito un bel niente se devi cercare tutte le soluzioni, o devi dimostrare che si tratta dell'unica soluzione (come nel caso che hai citato)
"biowep":
Il mio procedimento per risolvere sarebbe come prima:
\(\displaystyle \tan{3|t|\over t-1}=t \)
\(\displaystyle {\sin{3|t|\over t-1}\over\cos{3|t|\over t-1}}=t \)
Come si fa a risolvere un'equazione del genere?
Dato che l'equazione è stata già risolta (non si fa fatica a notare che nemmeno tra i negativi ci sono altre soluzioni), immagino tu intenda "come si fa a risolverla con passaggi simili a quelli che eseguo nel primo post?". In tal caso: ah boh (o meglio: pensarci mi sembra un'inutile assurdità, in tutta franchezza).
Secondo me l'esercizio è stato pensato per essere risolto come ho fatto, o in modo simile
È possibile che in un tema d'esame abbia messo uno studio di funzione da risolvere in quel modo? Se è così all'esame non ho speranza. Io di solito procedo in modo automatico, stile bulldozer (come dice la prof di analisi ), devo sapere che c'è un procedimento da applicare per tutto (tranne integrali forse, ma anche li ci sono dei procedimenti standard per gli esercizi proposti).
), devo sapere che c'è un procedimento da applicare per tutto (tranne integrali forse, ma anche li ci sono dei procedimenti standard per gli esercizi proposti).
"biowep":
È possibile che in un tema d'esame abbia messo uno studio di funzione da risolvere in quel modo? Se è così all'esame non ho speranza. Io di solito procedo in modo automatico, stile bulldozer (come dice la prof di analisi
Mi dispiace, ma dovevi nascere prima del 1799.
Comunque il metodo proposto da Plepp è automatico quasi quanto il tuo: ha semplicemente notato una ripetizione nella formula che poteva sfruttare. E poi tutto è diventato tranquillo.
Certo che è possibile! Anzi, mi sembrerebbe strano che in un tema d'esame venga proposto un esercizio da risolvere a macchinetta, con una "ricetta" (sarebbe "stile bulldozer" 
).
Ti consiglio vivamente di abbandonare questo modo di fare in favore del puro ragionamento, altrimenti la vedo davvero dura. Poteva funzionare a scuola (anzi, da quel che vedo, a scuola in molti casi è la "regola" dettata da un insegnante pigro o mediocre), ma quando cominci a studiare sul serio il "metodo" è destinato a fallire miseramente.
Tra l'altro, ti convinceresti presto che è molto più conveniente/appagante/divertente ragionare su un problema, piuttosto che cercare di infilarlo forzatamente in qualche "macchina-risolvi-problema" che ti ha fornito chicchessia
). Ti consiglio vivamente di abbandonare questo modo di fare in favore del puro ragionamento, altrimenti la vedo davvero dura. Poteva funzionare a scuola (anzi, da quel che vedo, a scuola in molti casi è la "regola" dettata da un insegnante pigro o mediocre), ma quando cominci a studiare sul serio il "metodo" è destinato a fallire miseramente.
Tra l'altro, ti convinceresti presto che è molto più conveniente/appagante/divertente ragionare su un problema, piuttosto che cercare di infilarlo forzatamente in qualche "macchina-risolvi-problema" che ti ha fornito chicchessia
"Plepp":
Certo che è possibile! Anzi, mi sembrerebbe strano che in un tema d'esame venga proposto un esercizio da risolvere a macchinetta, con una "ricetta" (sarebbe "stile bulldozer"
Ti consiglio vivamente di abbandonare questo modo di fare in favore del puro ragionamento, altrimenti la vedo davvero dura. Poteva funzionare a scuola (anzi, da quel che vedo, a scuola in molti casi è la "regola" dettata da un insegnante pigro o mediocre), ma quando cominci a studiare sul serio il "metodo" è destinato a fallire miseramente.
Tra l'altro, ti convinceresti presto che è molto più conveniente/appagante/divertente ragionare su un problema, piuttosto che cercare di infilarlo forzatamente in qualche "macchina-risolvi-problema" che ti ha fornito chicchessia
Stai parlando con un aspirante ingegnere informatico. Le macchine risolvi-problema mi piacciono troppo.
"biowep":
Stai parlando con un aspirante ingegnere informatico. Le macchine risolvi-problema mi piacciono troppo.
M sei tu che devi costruire le macchine ...
bel commento alex
"axpgn":
[quote="biowep"]Stai parlando con un aspirante ingegnere informatico. Le macchine risolvi-problema mi piacciono troppo.
M sei tu che devi costruire le macchine ...
[/quote]Proprio per questo è necessario avere dei metodi risolutivi, perché non si può stabilire "ad occhio" qui lo zero andrebbe bene e lì invece qualcos'altro, utilizzando le macchine. In realtà ho chiesto esplicitamente proprio perché sto scrivendo (a tempo perso) qualcosina in java per fare dei calcoli in modo simbolico e quindi ogni volta che studio analisi matematica mi chiedo come si potrebbe implementare un algoritmo per poter risolvere problemi simili con dati diversi. Per quanto riguarda le equazioni sapevo dell'inesistenza di formule per ricavare le radici per polinomi di grado 5 o più ma non sapevo che anche con la funzione arcotangente sorgono problemi.
Comunque grazie delle risposte
"biowep":
In realtà ho chiesto esplicitamente proprio perché sto scrivendo (a tempo perso) qualcosina in java per fare dei calcoli in modo simbolico e quindi ogni volta che studio analisi matematica mi chiedo come si potrebbe implementare un algoritmo per poter risolvere problemi simili con dati diversi.
Sinceramente non ritengo l'implementazione di un programma "serio" di calcolo simbolico un programma fattibile per una persona che avrà seguito un mezzo corso di analisi e di algebra lineare. Ovviamente puoi divertirti a giocare e a progettare metodi automatici per calcolare derivate, ma ti invito, tanto per farti un'idea della matematica richiesta, a dare un'occhiata alle proposte di sympy per il GSOC di quest'anno https://github.com/sympy/sympy/wiki/gsoc-2014-ideas
Se devo essere sincero, ma non essendo del settore potrei anche sbagliarmi, penso che sia un settore di cui si occupano principalmente matematici. Con questo non vogli dire che non puoi occupartene, solo che devi essere disposto ad integrare in maniera massiccia la tua preparazione se il tuo scopo è occuparti di quello.
Inoltre vorrei farti notare che non sempre una procedura esiste o si conosce. In alcuni casi esiste ma non è possibile costruire un metodo automatico per trovarla. Alcune di queste cose immagino le vedrai in un corso di complessità e computazionalità (sempre che sia previsto dal tuo programma di studi).
In alcuni casi le soluzioni esistono e gli algoritmi si conoscono ma hanno complessità esponenziale e dovrai decidere quanta precisione sacrificare in nome della velocità.
Il punto in tutto questo comunque è che lasciate le superiori entri nel mondo dell'indeterminato e dell'indecidibile in cui molti problemi non sono risolvibili con metodi banali e alle volte dovrai essere creativo.
Sisi, certo SymPy è un colosso, non punto a quello.
Volevo semplicemente creare qualcosa che possa calcolare alcuni (pochi) tipi di equazioni e disequazioni (almeno quelle lineari spero). Che possa derivare tutte le funzioni. Che riesca entro certi limiti a fattorizzare un'espressione. Infine che stabilisca, date due funzioni scritte in forma diversa, se sono o meno uguali (sempre entro certi limiti). Continuerò a lavorarci finché non esaurirò i pattern algebrici che conosco o finche non mi annoierò e passerò ad altro 
È una cosa così, per studiare java, ne ho parlato solamente per contestualizzare la domanda iniziale.
Così è più convincente, signor matematico?
Volevo semplicemente creare qualcosa che possa calcolare alcuni (pochi) tipi di equazioni e disequazioni (almeno quelle lineari spero
). Che possa derivare tutte le funzioni. Che riesca entro certi limiti a fattorizzare un'espressione. Infine che stabilisca, date due funzioni scritte in forma diversa, se sono o meno uguali (sempre entro certi limiti). Continuerò a lavorarci finché non esaurirò i pattern algebrici che conosco o finche non mi annoierò e passerò ad altro È una cosa così, per studiare java, ne ho parlato solamente per contestualizzare la domanda iniziale.
Così è più convincente, signor matematico?
Il mio era semplicemente un invito a non sottovalutare il programma e di vedere i suoi limiti in modo più razionale. Penso semplicemente che ci siano programmi simili che forniscano più soddisfazioni e meno frustrazione. Comunque, se non lo hai ancora fatto, ti suggerisco una lettura della pagine wiki relativa http://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_computation
Comunque, la mia affermazione non era legata al fatto che tu sia un ingegnere, lo avrei detto anche ad un matematico del primo o del secondo anno. Questi sono argomenti che si incontrano in magistrali specifiche e/o mentre fai il dottorato.
Comunque, la mia affermazione non era legata al fatto che tu sia un ingegnere, lo avrei detto anche ad un matematico del primo o del secondo anno. Questi sono argomenti che si incontrano in magistrali specifiche e/o mentre fai il dottorato.
Non entro nel merito di tutto ciò, ché ne capisco poco e niente.
Però voglio dire: una cosa è studiare Analisi 1, un'altra è farsi i programmini in Java a casa. Se nel messaggio iniziale avessi incluso la frase
ci saremmo risparmiati parecchi OT, magari qualcuno competente avrebbe fatto un intervento più utile, e non ti avrei tediato con le mie "paternali"
Però voglio dire: una cosa è studiare Analisi 1, un'altra è farsi i programmini in Java a casa. Se nel messaggio iniziale avessi incluso la frase
"biowep":
In realtà ho chiesto esplicitamente proprio perché sto scrivendo (a tempo perso) qualcosina in java per fare dei calcoli in modo simbolico e quindi ogni volta che studio analisi matematica mi chiedo come si potrebbe implementare un algoritmo per poter risolvere problemi simili con dati diversi.
ci saremmo risparmiati parecchi OT, magari qualcuno competente avrebbe fatto un intervento più utile, e non ti avrei tediato con le mie "paternali"
Comunque, mi sono messo ad analizzare per bene la tua equazione. Ovviamente eviterò di usare il metodo di Plepp, seppur corretto e molto più rapido.
Per prima cosa avresti dovuto far notare che \(\displaystyle x\neq 0 \). Inoltre ci sarebbe anche il problema che \(\displaystyle \arctan\colon \mathbb{R}\to (-k\pi,k\pi) \) con \(\displaystyle k = \frac12 \). Perciò le tue trasformazioni sarebbero possibili sono per le \(\displaystyle x \) tali che \(\displaystyle -k\pi < xf(x)
Nota infine che senza le condizioni \(\displaystyle -k\pi < xf(x)
avrebbe ben poco senso.
Penso quindi che valga la pena analizzare quando \(\displaystyle -k\pi < xf(x)
Nota che \(\displaystyle g(x) = xf(x) = x\biggl\lvert\frac{x+3}{x}\biggr\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} \lvert x+3\rvert \). Pertanto si ha che \(\displaystyle g(x) = \begin{cases} x+3 & \text{per } (x> 0)\cup (x \le -3) \\ -x-3 & \text{per } -3
Nota che \(\displaystyle g(x) = 0 \) nel solo punto \(\displaystyle x = -3 \), che \(\displaystyle g(x) > 0 \) per \(\displaystyle x> 0 \) e \(\displaystyle g(x) \le 0 \) per \(\displaystyle x < 0 \).
Siccome \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} x + 3 = 3 > \frac{\pi}{2}\) si ricava che si deve lavorare in \(\displaystyle x < 0 \) (la funzione è crescente per \(\displaystyle x > 0 \) ).
La condizione \(\displaystyle g(x) > -\frac{\pi}{2} \) restringe ulteriormente il dominio considerato infatti \(\displaystyle -x-3 > -\frac{\pi}{2} \) è equivalente a \(\displaystyle x < \frac{\pi}{2}-3 \approx -1.43 > -3 \) e \(\displaystyle x+3 > -\frac{\pi}{2} \) è equivalente a \(\displaystyle x >-3 -\frac{\pi}{2} \). Perciò si ha che \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}-3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \).
Notiamo ora che \(\displaystyle g(x) \in \biggl(-\frac{\pi}{2}, 0\biggl] \) per \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}-3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \). Quindi le soluzioni dell'equazione devono essere tra le \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}-3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \) tali che \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \arctan\biggl( \frac{x+3}{x} \biggr) \le 0 \).
La condizione \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \arctan\biggl( \frac{x+3}{x} \biggr) \) è banalmente verificata, mentre \(\displaystyle \arctan\biggl( \frac{x+3}{x} \biggr) \le 0 \) è verificata per \(\displaystyle \frac{x+3}{x}\le 0 \) che equivale a \(\displaystyle -3\le x < 0 \).
In definitiva, se non ho fatto errori di calcolo, si ricava che le soluzioni devono essere nell'intervallo \(\displaystyle -3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \).
In questo intervallo il valore assoluto assume una sola forma, quindi lo posso levare anche nell'equazione iniziale ricavando \(\displaystyle \arctan\frac{x+3}{x} = -(x+3) \).
A questo punto voglio invertire \(\displaystyle \arctan \) per togliermi la frazione dall'interno delle funzioni trigonometriche (dato che ho anche passato del tempo ad assicurarmi di poterlo fare). D'altra parte, se lo facessi ora, mi troverei \(\displaystyle -(x+3) \) all'interno di \(\displaystyle \tan \) che, seppur non sia come una frazione, è comunque scomodo. Pertanto sostituisco \(\displaystyle y = x + 3 \) ricavando \(\displaystyle \arctan\frac{y}{y-3} = -y \) e compongo l'equazione con \(\displaystyle \tan \).
Ho quindi l'equazione \(\displaystyle \frac{y}{y-3} = \tan(-y) \). Siccome \(\displaystyle \tan \) è una funzione dispari porto fuori il meno. Mi trovo dunque con l'equazione \(\displaystyle \frac{y}{y-3} = -\tan(y) \) con \(\displaystyle 0\le y<\frac{\pi}{2} \). Una semplice trasformazione mi porta tutto in \(\displaystyle \tan y = \frac{y}{3-y} \).
Entrambe le funzioni sono monotone crescenti e iniettive nell'intervallo considerato. A questo punto ha senso chiedersi i “valori” agli estremi dell'intervallo. Si ricava \(\displaystyle 0 = 0 \) per \(\displaystyle y = 0 \) e un valore infinito e \(\displaystyle \frac{\pi}{6 - \pi} \) per \(\displaystyle y \to \frac{\pi}{2} \). Perciò \(\displaystyle y = 0 \) cioè \(\displaystyle x = -3 \) è una soluzione dell'equazione.
Manca quindi solo da analizzare i punti interni. Per farlo guardiamo le derivate che sono \(\displaystyle \sec^2(y) \) e \(\displaystyle \frac{3}{(3-y)^2} \). Siccome \(\displaystyle \sec^2(y) > \frac{3}{(3-y)^2} \) per ogni \(\displaystyle y \) nell'intervallo considerato allora \(\displaystyle x = -3 \) è l'unica soluzione dell'equazione.
-----------------------------------------------------------
Riguardo ai tuoi calcoli direi che, siccome non hai analizzato per bene i domini e le immagini, perdi notevoli informazioni e possibilità di semplificazioni. Comunque arrivato al tuo ultimo passaggio e fatta la sostituzione \(y = x+3\) ti saresti trovato in qualcosa di equivalente al caso che ho considerato io alla fine.
Nota però che la tua equazione che usa somma di seni e coseni è definita su tutto \(\mathbb{R}\) e che quindi potrebbe avere (e in effetti ha!) soluzioni che non sono soluzioni dell'equazione iniziale. Insomma devi prestare attenzione a questi aspetti. Seppur alle volte possano sembrare sciocchezze.
Per prima cosa avresti dovuto far notare che \(\displaystyle x\neq 0 \). Inoltre ci sarebbe anche il problema che \(\displaystyle \arctan\colon \mathbb{R}\to (-k\pi,k\pi) \) con \(\displaystyle k = \frac12 \). Perciò le tue trasformazioni sarebbero possibili sono per le \(\displaystyle x \) tali che \(\displaystyle -k\pi < xf(x)
Nota infine che senza le condizioni \(\displaystyle -k\pi < xf(x)
"biowep":
\(\displaystyle \frac{x\sin\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)-3\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)}{ x\cos\left(x\left|1+\frac{3}{x}\right|\right)}=1 \)
avrebbe ben poco senso.
Penso quindi che valga la pena analizzare quando \(\displaystyle -k\pi < xf(x)
Nota che \(\displaystyle g(x) = xf(x) = x\biggl\lvert\frac{x+3}{x}\biggr\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} \lvert x+3\rvert \). Pertanto si ha che \(\displaystyle g(x) = \begin{cases} x+3 & \text{per } (x> 0)\cup (x \le -3) \\ -x-3 & \text{per } -3
Nota che \(\displaystyle g(x) = 0 \) nel solo punto \(\displaystyle x = -3 \), che \(\displaystyle g(x) > 0 \) per \(\displaystyle x> 0 \) e \(\displaystyle g(x) \le 0 \) per \(\displaystyle x < 0 \).
Siccome \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} x + 3 = 3 > \frac{\pi}{2}\) si ricava che si deve lavorare in \(\displaystyle x < 0 \) (la funzione è crescente per \(\displaystyle x > 0 \) ).
La condizione \(\displaystyle g(x) > -\frac{\pi}{2} \) restringe ulteriormente il dominio considerato infatti \(\displaystyle -x-3 > -\frac{\pi}{2} \) è equivalente a \(\displaystyle x < \frac{\pi}{2}-3 \approx -1.43 > -3 \) e \(\displaystyle x+3 > -\frac{\pi}{2} \) è equivalente a \(\displaystyle x >-3 -\frac{\pi}{2} \). Perciò si ha che \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}-3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \).
Notiamo ora che \(\displaystyle g(x) \in \biggl(-\frac{\pi}{2}, 0\biggl] \) per \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}-3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \). Quindi le soluzioni dell'equazione devono essere tra le \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}-3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \) tali che \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \arctan\biggl( \frac{x+3}{x} \biggr) \le 0 \).
La condizione \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \arctan\biggl( \frac{x+3}{x} \biggr) \) è banalmente verificata, mentre \(\displaystyle \arctan\biggl( \frac{x+3}{x} \biggr) \le 0 \) è verificata per \(\displaystyle \frac{x+3}{x}\le 0 \) che equivale a \(\displaystyle -3\le x < 0 \).
In definitiva, se non ho fatto errori di calcolo, si ricava che le soluzioni devono essere nell'intervallo \(\displaystyle -3 < x < \frac{\pi}{2}-3 \).
In questo intervallo il valore assoluto assume una sola forma, quindi lo posso levare anche nell'equazione iniziale ricavando \(\displaystyle \arctan\frac{x+3}{x} = -(x+3) \).
A questo punto voglio invertire \(\displaystyle \arctan \) per togliermi la frazione dall'interno delle funzioni trigonometriche (dato che ho anche passato del tempo ad assicurarmi di poterlo fare). D'altra parte, se lo facessi ora, mi troverei \(\displaystyle -(x+3) \) all'interno di \(\displaystyle \tan \) che, seppur non sia come una frazione, è comunque scomodo. Pertanto sostituisco \(\displaystyle y = x + 3 \) ricavando \(\displaystyle \arctan\frac{y}{y-3} = -y \) e compongo l'equazione con \(\displaystyle \tan \).
Ho quindi l'equazione \(\displaystyle \frac{y}{y-3} = \tan(-y) \). Siccome \(\displaystyle \tan \) è una funzione dispari porto fuori il meno. Mi trovo dunque con l'equazione \(\displaystyle \frac{y}{y-3} = -\tan(y) \) con \(\displaystyle 0\le y<\frac{\pi}{2} \). Una semplice trasformazione mi porta tutto in \(\displaystyle \tan y = \frac{y}{3-y} \).
Entrambe le funzioni sono monotone crescenti e iniettive nell'intervallo considerato. A questo punto ha senso chiedersi i “valori” agli estremi dell'intervallo. Si ricava \(\displaystyle 0 = 0 \) per \(\displaystyle y = 0 \) e un valore infinito e \(\displaystyle \frac{\pi}{6 - \pi} \) per \(\displaystyle y \to \frac{\pi}{2} \). Perciò \(\displaystyle y = 0 \) cioè \(\displaystyle x = -3 \) è una soluzione dell'equazione.
Manca quindi solo da analizzare i punti interni. Per farlo guardiamo le derivate che sono \(\displaystyle \sec^2(y) \) e \(\displaystyle \frac{3}{(3-y)^2} \). Siccome \(\displaystyle \sec^2(y) > \frac{3}{(3-y)^2} \) per ogni \(\displaystyle y \) nell'intervallo considerato allora \(\displaystyle x = -3 \) è l'unica soluzione dell'equazione.
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Riguardo ai tuoi calcoli direi che, siccome non hai analizzato per bene i domini e le immagini, perdi notevoli informazioni e possibilità di semplificazioni. Comunque arrivato al tuo ultimo passaggio e fatta la sostituzione \(y = x+3\) ti saresti trovato in qualcosa di equivalente al caso che ho considerato io alla fine.
Nota però che la tua equazione che usa somma di seni e coseni è definita su tutto \(\mathbb{R}\) e che quindi potrebbe avere (e in effetti ha!) soluzioni che non sono soluzioni dell'equazione iniziale. Insomma devi prestare attenzione a questi aspetti. Seppur alle volte possano sembrare sciocchezze.
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