Soluzione eq.differenziale

[tommyr22-votailprof]

salve a tutti
mi ritrovo ad avere un problema che per voi è sicuramente banale
in pratica, andando a svolgere un'eq. differenziale a variabili separabili (e quindi calcolandomi l'integrale) avrò che :
$log(y)=log(x-1)+1/(x-1) +c$
fin quì ci siamo,il problema nasce quando dovrò esplicitare $y$.
La soluzione mi dice che $y=e^ce^(1/(x-1)) (x-1)$
adesso non capisco perchè viene tutto moltiplicato? non dovrebbe essere $y=e^c+e^(1/(x-1))+ (x-1)$ ?
sicuramente sbaglio nell'"eliminare" il logaritmo..
grazie.

[Quinzio]

Ahi !
Prima che veda qualcun altro e ti bacchetti....
Hai $log y = a+log b+c$

$y = e^(a+log b+c) = e^a\ e^(log b)\ e^c$

Sono le proprietà delle potenze: $x^(a+b)= x^a\ x^b$

via... di corsa a ripassare....

[Plepp]

Ciao forse hai dimenticato questa proprietà
\[a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}\]
dove $a,b,c\in RR$, $a>0$. Nel tuo caso hai
\[\ln(y)=\ln(x-1)+\dfrac{1}{x+1}+c\implies y=e^{\ln(x-1)+\frac{1}{x-1}+c}=e^{\ln(x-1)}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}\cdot e^c=\]
\[=(x-1)\cdot e^{\frac{1}{x-1}}\cdot e^c\]

Ciao

Giuseppe

EDIT: scusa @quinzio ti ho doppiato

[Quinzio]

Niente.... meglio due che uno solo

[tommyr22-votailprof]

grazie ragazzi ma la proprietà la sapevo, la domanda è ancora più stupida forse ahah
infatti io "eliminavo" direttamente il $log(x-1)$ ed $e$ la usavo solo dove non c'era il $log$ ,per questo non capivo
grazie per aver risolto questa "stupida" cosa