Soluzione EDP con separazione variabili
Ciao a tutti!!
Non riesco a capire un paio di cose riguardo a questo esercizio:
è una EDP da risolvere con la separazione delle variabili e poi lo sviluppo in serie di Fourier.
Sia dato il problema
$u_t -2 u_(x x) = 0$
$u(x,0) = phi (x) = (pi^2)/4-x^2$
$u_x (0,t)=u_x (pi/2,t) = 0$
nella striscia $S = [0,pi/2]xx[0,+infty)$
Determinare la soluzione con uno sviluppo di Fourier + calcolo dei coefficienti.
Leggendo la soluzione, bisogna separare le variabili $u = X(x)T(t)$ e con i normali calcoli si trovano le due soluzioni
$X(x) = Acos((2k+1)x)$
$T(t) = B exp (-2(2k+1)^2 t)$
con le costanti arbitrarie $A,B in RR$.
1) Qui c'è il primo passaggio che non capisco: nella soluzione del professore c'è scritto
"La soluzione generale ha dunque la forma $ sum_(n = 0)^(+infty) A_kcos[(2k+1)x]exp[-2(2k+1)^2 t] $
E mi chiedo perché, se questo è uno sviluppo di Fourier con i coseni, non compare il valore medio $(A_0)/2$ ?
Forse perché devono comparire solamente i termini $n=2k+1$ quindi $A_0$ non corrisponde a nessun valore di k?
2) Poi, proseguendo: "i coefficienti sono determinati dalla formula $ A_k= 4/pi int_0^(pi//2)phi(x)cos[(2k + 1)x]dx $
Come mai qui non c'è semplicemente un $cos(kx)$ ? Il coefficiente deve essere lo stesso che compare nel coseno della serie? Forse ho capito male la teoria delle serie di Fourier, ma mi sembra che siano due cose indipendenti... O no??
3) Ultimo dubbio, forse il più importante: proseguendo ancora, la soluzione dice che sull'asse x il dato iniziale [intende la funzione $phi = (pi^2)/4-x^2$] va prolungato in modo pari rispetto all'origine e DISPARI rispetto al punto $x = pi/2$, "come imposto dai dati iniziali"...
Che significa?? Ok per la parità rispetto all'origine, perché lo sviluppo contiene solo dei seni, ma per quale motivo la funzione deve essere anche dispari rispetto a $pi/2$ ?? Forse perché il valore medio $A_0$ deve essere nullo? Ma cosa c'entrano quindi i dati iniziali?
Grazie a chi mi vorrà dare una mano
Non riesco a capire un paio di cose riguardo a questo esercizio:
è una EDP da risolvere con la separazione delle variabili e poi lo sviluppo in serie di Fourier.
Sia dato il problema
$u_t -2 u_(x x) = 0$
$u(x,0) = phi (x) = (pi^2)/4-x^2$
$u_x (0,t)=u_x (pi/2,t) = 0$
nella striscia $S = [0,pi/2]xx[0,+infty)$
Determinare la soluzione con uno sviluppo di Fourier + calcolo dei coefficienti.
Leggendo la soluzione, bisogna separare le variabili $u = X(x)T(t)$ e con i normali calcoli si trovano le due soluzioni
$X(x) = Acos((2k+1)x)$
$T(t) = B exp (-2(2k+1)^2 t)$
con le costanti arbitrarie $A,B in RR$.
1) Qui c'è il primo passaggio che non capisco: nella soluzione del professore c'è scritto
"La soluzione generale ha dunque la forma $ sum_(n = 0)^(+infty) A_kcos[(2k+1)x]exp[-2(2k+1)^2 t] $
E mi chiedo perché, se questo è uno sviluppo di Fourier con i coseni, non compare il valore medio $(A_0)/2$ ?
Forse perché devono comparire solamente i termini $n=2k+1$ quindi $A_0$ non corrisponde a nessun valore di k?
2) Poi, proseguendo: "i coefficienti sono determinati dalla formula $ A_k= 4/pi int_0^(pi//2)phi(x)cos[(2k + 1)x]dx $
Come mai qui non c'è semplicemente un $cos(kx)$ ? Il coefficiente deve essere lo stesso che compare nel coseno della serie? Forse ho capito male la teoria delle serie di Fourier, ma mi sembra che siano due cose indipendenti... O no??
3) Ultimo dubbio, forse il più importante: proseguendo ancora, la soluzione dice che sull'asse x il dato iniziale [intende la funzione $phi = (pi^2)/4-x^2$] va prolungato in modo pari rispetto all'origine e DISPARI rispetto al punto $x = pi/2$, "come imposto dai dati iniziali"...
Che significa?? Ok per la parità rispetto all'origine, perché lo sviluppo contiene solo dei seni, ma per quale motivo la funzione deve essere anche dispari rispetto a $pi/2$ ?? Forse perché il valore medio $A_0$ deve essere nullo? Ma cosa c'entrano quindi i dati iniziali?
Grazie a chi mi vorrà dare una mano
Risposte
Credo di aver risolto i primi due dubbi, per il primo credo sia proprio come dico io, cioé che non compare il termine medio perché ci sono solo i coefficienti $A_(2k + 1)$.
Per il secondo mi sono ricordato come si ottengono le formule dei coefficienti e mi sono accorto che per forza il contenuto dei coseni/seni deve essere lo stesso
Riguardo al terzo dubbio, sul perché la funzione per $t=0$ vada prolungata in modo dispari rispetto a $x = pi/2$.... è giusto quel che ho pensato? Cioè, è perché il valor medio deve essere nullo? Oppure questa è una conseguenza di come è fatta la funzione?
Di nuovo grazie a chi vorrà rispondere
Per il secondo mi sono ricordato come si ottengono le formule dei coefficienti e mi sono accorto che per forza il contenuto dei coseni/seni deve essere lo stesso
Riguardo al terzo dubbio, sul perché la funzione per $t=0$ vada prolungata in modo dispari rispetto a $x = pi/2$.... è giusto quel che ho pensato? Cioè, è perché il valor medio deve essere nullo? Oppure questa è una conseguenza di come è fatta la funzione?
Di nuovo grazie a chi vorrà rispondere
Guarda che se cerchi nel forum troverai un esercizio sull'equazione del calore nella striscia ( fatto da me ) in cui vengono mostrati i passaggi. Non è per pigrizia, ma riscrivere tutto l'esercizio è alquanto dispendioso
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