Soluzione EDO con cosh

[ELWOOD1]

Scusate la banalità, ma mi sfugge il motivo per cui la soluzione dell'edo:

$y''(x)=y(x)$ che è $y(x)=c_1 e^x+c_2e^{-x}$ si possa ricondurre alla forma con le funzioni iperboliche:

$y(x)=c_1 \cosh(x)+c_2\sinh(x)$

Studiando l'edo come serie di potenze arrivo a vederlo immediatamente sviluppando in serie la funzione, ma messa così non saprei

[gugo82]

Basta tenere presente che coseno e seno iperbolici sono combinazioni lineari indipendenti di \(e^x\) ed \(e^{-x}\); ergo la linearità della EDO ed un fatto semplice di Algebra Lineare garantiscono che se \(\{e^x ,\ e^{-x}\}\) è una base per lo spazio delle soluzioni (proprio in senso vettoriale, eh!), allora anche \(\{ \cosh x,\ \sinh x\}\) è una base per lo stesso spazio.