Soluzione di una funzione continua

[m92c]

Provare che l'equazione \( ax^{2} + bx = g(x) \), dove a e b sono numeri reali positivi e g è continua in [0,1], con \(g(0) = 1\) e \( g(1) = \dfrac{a+b}{2} \), ammette una soluzione nell'intervallo ]0,1[

Mi sono ritrovata questo esercizio e l'unica cosa che mi è venuta in mente è che g(x) è uniformente continua, viste le ipotesi. Poi mi sono bloccata e non so come continuare. Consigli?

Grazie.

[Rigel1]

Puoi provare a vedere se la funzione \(f(x) := a x^2 + b x - g(x)\) ammette zeri nell'intervallo specificato...

[m92c]

La condizione che \( f(a)f(b)< 0 \) non è rispettata: i valori a e b sono due numeri reali positivi quindi \( \dfrac{a+b}{2} \) non è una quantità minore di zero. Ho pensato, invece, che forse potrei arrivare alla soluzione usando il Teoreama di Lagrange...

[Plepp]

"m92c":La condizione che \( f(a)f(b)< 0 \) non è rispettata

Come no?! $f(0)=-1$, $f(1)=a+b-\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}>0$.

PS. Lagrange? E che te ne fai? Tra l'altro, non ci sono manco le ipotesi di derivabilità necessarie (per $g(x)$).

Ciao

[m92c]

Io non ho utilizzato \( f(x) = ax^{2} + bx - g(x) \) ma ho lasciato g(x) così come me la dava l'esercizio. In \( b = 1, g(x) = \dfrac{a + b}{2} \) mentre in \( a = 0, g(x) = 1 \). Quindi in questo modo \( g(a)g(b) < 0 \) non vale. Non capisco perchè scrivere \( f(x) = ax^{2} + bx - g(x) \)... Delucidazioni? XD

Per quanto riguarda il Teorema di Lagrange, premettendo che non so se realmente mi serve per risolvere l'esercizio, le condizioni dovrebbero essere comunque soddisfatte: infatti la funzione è continua in [0,1] (e quindi derivabile) e per estensione è continua e derivabile anche in ]0,1[ e, allora, è una funzione di Langrange e il teoreama si può applicare o sbaglio?

[Plepp]

Una cosa alla volta, stai facendo una confusione pazzesca.

1) Che vuol dire "non ho utilizzato $f(x)=\cdots$" ?! L'esercizio ti chiede di verificare se l'equazione
\[ax^2+bx=g(x)\qquad \qquad (1)\]
ammette soluzioni in $(0,1)$. Che vuol dire? Che se $x_0$ è soluzione della $(1)$, sostituendo nella stessa il valore di $x_0$ ottieni un'identità (tipo $0=0$). Ora, la $(1)$ si può riscrivere in questo modo:
\[ax^2+bx-g(x)=0\qquad \qquad (2)\]
che è LA STESSA COSA. Quindi, se $x_0$ è soluzione della $(1)$, ovviamente $x_0$ è soluzione della $(2)$. Ok?

2) Trovare una soluzione della $(2)$ vuol dire trovare un certo $x_0$ che annulla la funzione a primo membro, poichè, ripetiamo, dobbiamo ottenere un'identità. Quindi consideriamo $f(x):=ax^2+bx-g(x)$ è verifichiamo (molto facilmente) che essa ammette uno zero (una soluzione) in $(0,1)$ per il Teorema degli zeri.
Che dice sto benedetto teorema degli zeri???

Teorema. Sia $f:[a,b]\subseteq RR\to RR$ una funzione continua. Se $f(a)\cdot f(b)<0$, allora esiste un punto interno $c$ di $[a,b]$ tale che $f(c)=0$.

Mi spieghi ora come applichi questo teorema ad un'equazione??? Puoi applicarlo solo ad una FUNZIONE. Ecco perchè scrivere la $(2)$: in questo modo abbiamo a primo membro una funzione, e a secondo zero; ci stiamo dunque chiedendo "quando" la funzione a primo membro si annulla: questo ce lo dice il teorema degli zeri.

3) NO. Se una funzione è derivabile allora è continua: non è vero il viceversa. Lagrange non serve a un tubo

Spero di essere stato chiaro...non penso che si possa dire in maniera piu semplice

EDIT: questa me l'ero persa. Cos'è una funzione di Lagrange?