Soluzione di un sistema di equazioni differenziali
'Sera a tutti,
mi trovo in difficoltà nella soluzione di un sistema di equazioni differenziali.
Si tratta in particolare di un problema di meccanica razionale, in cui un punto materiale di massa m è soggetto ad una forza $ vec(F) = k(yhat(i) +xhat(j) ) $ con $ k>0 $ , $ hat(i) $ versore dell'asse x e $ hat(j) $ versore dell'asse y.
Dovendo trovare le equazioni del moto, si pone questo uguale a $ mvec(a) $. E lì arriva il bello...
Qui una bozza su come pensavo di risolverlo, ma poi mi sono bloccato lì...
Edit: mi sono scordato una cosa: si conoscono tutte le condizioni iniziali
mi trovo in difficoltà nella soluzione di un sistema di equazioni differenziali.
Si tratta in particolare di un problema di meccanica razionale, in cui un punto materiale di massa m è soggetto ad una forza $ vec(F) = k(yhat(i) +xhat(j) ) $ con $ k>0 $ , $ hat(i) $ versore dell'asse x e $ hat(j) $ versore dell'asse y.
Dovendo trovare le equazioni del moto, si pone questo uguale a $ mvec(a) $. E lì arriva il bello...
Qui una bozza su come pensavo di risolverlo, ma poi mi sono bloccato lì...
Edit: mi sono scordato una cosa: si conoscono tutte le condizioni iniziali
Risposte
Probabilmente hai già risolto il tuo problema. In ogni caso posto una soluzione che penso sia corretta, magari serve a qualcuno 
$ { ( mddot(x)=ky ),( mddot(y)=kx ):} $
da cui si ricava facilmente
$ { ( m (ddot(x)-ddot(y))=-k(x-y) ),( m (ddot(x)+ddot(y))=k(x+y) ):} $
La prima equazione è quella di un oscillatore armonico. La sua soluzione sarà:
$ (x-y)=Asin(\sqrt{\frac{k}{m}t})+Bcos(\sqrt{\frac{k}{m}t}) $
mentre la seconda ha come soluzione una combinazione di funzioni esponenziali:
$ (x+y)=Ce^(\sqrt{\frac{k}{m}t})+De^-(\sqrt{\frac{k}{m}t}) $
a questo punto devi sostituire i tuoi dati iniziali (presumo che tu abbia $x(0)$,$y(0)$,$dot(x)(0)$ e $dot(y)(0)$) e tramite della semplice algebra ricavi la soluzione del tuo sistema !
$ { ( mddot(x)=ky ),( mddot(y)=kx ):} $
da cui si ricava facilmente
$ { ( m (ddot(x)-ddot(y))=-k(x-y) ),( m (ddot(x)+ddot(y))=k(x+y) ):} $
La prima equazione è quella di un oscillatore armonico. La sua soluzione sarà:
$ (x-y)=Asin(\sqrt{\frac{k}{m}t})+Bcos(\sqrt{\frac{k}{m}t}) $
mentre la seconda ha come soluzione una combinazione di funzioni esponenziali:
$ (x+y)=Ce^(\sqrt{\frac{k}{m}t})+De^-(\sqrt{\frac{k}{m}t}) $
a questo punto devi sostituire i tuoi dati iniziali (presumo che tu abbia $x(0)$,$y(0)$,$dot(x)(0)$ e $dot(y)(0)$) e tramite della semplice algebra ricavi la soluzione del tuo sistema !
Francamente lo avevo mollato per sopraggiunto sabato sera 
Ottima soluzione la tua, semplice ed efficace. Grazie.
Ottima soluzione la tua, semplice ed efficace. Grazie.
Di nulla
Ho ricontrollato i calcoli, credo che la soluzione della seconda equazione sia
$ (x+y)=Ce^(sqrt(k/m)t)+De^-(sqrt(k/m)t) $
$ (x+y)=Ce^(sqrt(k/m)t)+De^-(sqrt(k/m)t) $
Certo ,lì dovrebbe esserci una somma naturalmente !Correggo subito 
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