Soluzione di un problema di Cauchy
Studiando per l'esame di analisi mi sono imbattuto in questo problema:
$u'(t) = t^4[sin(u(t))]^4$
$u(15/2) = (pi)/2$
Dal momento che il dato iniziale è compreso tra due radici di $B(u(t))$ (ovvero 0 e pi greco, rispettivamente $u_1$ e $u_2$), e dato che $t^4$ è definita su tutto R, allora esisterà una soluzione unica su tutto R. La teoria mi dice che sarà data dalla funzione $x(t)$
Intanto chiamo $G(u) = \int_{u_(0)}^{u} (1/sinx)^4 dx$
La soluzione sarà definità così:
$x(t) = u_1$ se t < $lim_(u->u_(1))G(u)$
$x(t) = G^(-1) (t)$ se $lim_(u->u_(1))G(u) < t < lim_(u->u_(2))G(u)$
$x(t) = u_2$ se $lim_(u->u_(2))G(u) < t$
Il problema è che la soluzione che mi da il testo è definita semplicemente risolvendo l'equazione (tra l'altro in modo implicito):
$ \int_{u_(0)}^{u} (1/sinx)^4 dx = \int_{15/2}^{t} x^4 dx$
che porta a
$-1/(24tan^3((u(t))/2)) - 3/(tan ((u_t)/2)) + 3/8 tan(u(t)) + 1/24 tan^3(u(t))/2 - 35/12 = 1/5t^5 - 1/5 15^5/32$
In pratica si assume che questa funzione sia continua su tutto R e sia su tutto R soluzione del problema di Cauchy.
Di questa espressione è calcolato il limite a più infinito e a meno infinito, e poi è fatto il grafico. Ma questa espressione non dovrebbe valere solo per $lim_(u->u_(1))G(u) < t < lim_(u->u_(2))G(u)$?! Perché in questo caso, nonostante il dato iniziale sia tra due radici di $B(u(t))$ invece di avere una funzione definita a tratti ho un'unica funzione su tutto R? eppure dalla teoria sembra chiaro che si deve fare così.
$u'(t) = t^4[sin(u(t))]^4$
$u(15/2) = (pi)/2$
Dal momento che il dato iniziale è compreso tra due radici di $B(u(t))$ (ovvero 0 e pi greco, rispettivamente $u_1$ e $u_2$), e dato che $t^4$ è definita su tutto R, allora esisterà una soluzione unica su tutto R. La teoria mi dice che sarà data dalla funzione $x(t)$
Intanto chiamo $G(u) = \int_{u_(0)}^{u} (1/sinx)^4 dx$
La soluzione sarà definità così:
$x(t) = u_1$ se t < $lim_(u->u_(1))G(u)$
$x(t) = G^(-1) (t)$ se $lim_(u->u_(1))G(u) < t < lim_(u->u_(2))G(u)$
$x(t) = u_2$ se $lim_(u->u_(2))G(u) < t$
Il problema è che la soluzione che mi da il testo è definita semplicemente risolvendo l'equazione (tra l'altro in modo implicito):
$ \int_{u_(0)}^{u} (1/sinx)^4 dx = \int_{15/2}^{t} x^4 dx$
che porta a
$-1/(24tan^3((u(t))/2)) - 3/(tan ((u_t)/2)) + 3/8 tan(u(t)) + 1/24 tan^3(u(t))/2 - 35/12 = 1/5t^5 - 1/5 15^5/32$
In pratica si assume che questa funzione sia continua su tutto R e sia su tutto R soluzione del problema di Cauchy.
Di questa espressione è calcolato il limite a più infinito e a meno infinito, e poi è fatto il grafico. Ma questa espressione non dovrebbe valere solo per $lim_(u->u_(1))G(u) < t < lim_(u->u_(2))G(u)$?! Perché in questo caso, nonostante il dato iniziale sia tra due radici di $B(u(t))$ invece di avere una funzione definita a tratti ho un'unica funzione su tutto R? eppure dalla teoria sembra chiaro che si deve fare così.
Risposte
Ho corretto quello che penso fosse un banale errore di stampa:
da $u(15/2) = è (pi)/2$ a $u(15/2) = (pi)/2$
Inoltre, dici:
La teoria mi dice che sarà data dalla funzione $x(t)$
Posso suggerire di usare l'anteprima?
Poi, in argomento. Dici:
Dal momento che il dato iniziale è compreso tra due radici di $B(u(t))$ (ovvero 0 e pi greco, rispettivamente $u_1$ e $u_2$), e dato che $t^4$ è definita su tutto R, allora esisterà una soluzione unica su tutto R.
Puoi applicare il teorema di esistenza di una soluzione globale. Comunque, ok che la soluzione massimale sia definita su tutto $RR$.
Quanto al resto, sinceramente ci ho capito poco.
La soluzione che trovi "separando le variabili" dovrebbe essere la soluzione massimale, che non si sogna minimamente di andare a "toccare" uno zero della funzione seno. Non vedo perché dovresti angustiarti con quei limiti che citi.
da $u(15/2) = è (pi)/2$ a $u(15/2) = (pi)/2$
Inoltre, dici:
La teoria mi dice che sarà data dalla funzione $x(t)$
Posso suggerire di usare l'anteprima?
Poi, in argomento. Dici:
Dal momento che il dato iniziale è compreso tra due radici di $B(u(t))$ (ovvero 0 e pi greco, rispettivamente $u_1$ e $u_2$), e dato che $t^4$ è definita su tutto R, allora esisterà una soluzione unica su tutto R.
Puoi applicare il teorema di esistenza di una soluzione globale. Comunque, ok che la soluzione massimale sia definita su tutto $RR$.
Quanto al resto, sinceramente ci ho capito poco.
La soluzione che trovi "separando le variabili" dovrebbe essere la soluzione massimale, che non si sogna minimamente di andare a "toccare" uno zero della funzione seno. Non vedo perché dovresti angustiarti con quei limiti che citi.
Ma allora in che caso si ricorre alla funzione definita a tratti? A questo punto non mi torna più. Si ricorre alla funzione che ho scritto quando la risoluzione dell'equazione mi porta una funzione non continua su tutto R? a questo punto non capisco il teorema che ho riportato sopra. Sulle mie dispense c'è scritto proprio che la funzione
$G(u)= int_{u_(0)}^{u} 1/(B(x)) dx$
è posta per ogni u appartenente all'intervallo $]u_1,u_2[$ , non capisco perché si vada oltre questo intervallo.
$G(u)= int_{u_(0)}^{u} 1/(B(x)) dx$
è posta per ogni u appartenente all'intervallo $]u_1,u_2[$ , non capisco perché si vada oltre questo intervallo.
Ho capito poco anche io cosa vuoi fare con quegli strani limiti... sai dalla teoria che la soluzione massimale è definita su tutto $\RR$, e sai che se $u$ è la soluzione massimale allora necessariamente per ogni $t \in \RR$ hai $\int_{\pi/2}^{u(t)} \frac{1}{\sin^4x}dx=\int_{15/2}^t x^4dx$. Risolvi questi integrali e hai la soluzione, senza più nessuna considerazione alcuna.
Allora nel caso in cui il dato iniziale è tra due radici di $B(u(t))$ la soluzione è data su tutto l'intervallo su cui è definita $A(t)$ (in questo caso $A(t) = t^4$) dalla soluzione dell'integrale? senza altri fronzoli nè niente?
Scusate, ma $(t*sinu)^4$ non è localmente lipschitziana rispetto ad $u$ in $RR$*, quindi comunque assegno le condizioni iniziali trovo una soluzione massimale definita in tutto $RR$?
__________
* Infatti è $|("d")/("d"u) [sin^4u]|=4|sin^3u|*|cosu|<=4$, quindi $|t^4sin^4u_1-t^4sin^4u_1|<=4t^4|u_1-u_2|$ per ogni $u_1,u_2 \in RR$.
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* Infatti è $|("d")/("d"u) [sin^4u]|=4|sin^3u|*|cosu|<=4$, quindi $|t^4sin^4u_1-t^4sin^4u_1|<=4t^4|u_1-u_2|$ per ogni $u_1,u_2 \in RR$.
Il fatto che sia localmente lipschitziana rispetto a $u$ ti dice solo che la soluzione esite localmente e non su tutto $\RR$. Per dire che la soluzione è prolungabile a tutto $\RR$ va usato un th di esistenza globale, oppure, più facilmente, osservare che $g(u)=\sin^4 u$ è limitata per cui la soluzione massimale non può esplodere in tempo finito, o ancora (più elegante) la soluzione deve stare tra due soluzioni costanti che non può incontrare.
Io non ho capito allora perché nella teoria, quando si affronta questo tema, si definisce la funzione $x(t)$ che ho definito sopra, e si vede che verifica le condizioni necessarie affinché sia soluzione del problema di Cauchy. Le ho solo io queste cose? mi pare strano... se volete vi riporto esattamente ciò che è scritto sul libro, così mi dite perché non si fa in quel modo ma come avete detto voi.
"Zkeggia":
necessarie
Sufficienti?
[OT]
Lo studio qualitativo delle EDO è la mia croce...
[/OT]
Lo studio qualitativo delle EDO è la mia croce...
[/OT]
Sì sufficienti, scusate...
In ogni caso, come mai nella parte teorica si ricorre a questa funzione, quando si può tranquillamente risolvere l'equazione?
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