Soluzione di sist.differenziale stabile sse $Re(lambda)<0
Salve a tutti,
per una questione di algebra lineare numerica, mi sono imbatutto nel seguente risultato: dato il sistema differenziale quadratico$MD^2[q(t)]+CD[q(t)]+Kq(t)=0$, con $M,C,K$ matrici quadrate di ordine $n$ e $q(t)$ vettore in $CC^n$ dipendente dal tempo $t$ (indico con $D[q(t)]$ e $D^2[q(t)]$ rispettivametne la derivata prima e seconda, componente per componente, del vettore $q(t)$), vale che una soluzione $q(t)$ decresce esponenzialmente (in norma) a zero per $t->+infty$ se e solo se ogni autovalore del pencil $(M,C,K)$, ovvero ogni $lambda \in CC$ tale che $det(lambda^2M+lambdaC+K)=0$, ha parte reale negativa.
Qualcuno conosce una dimostrazione di questo fatto? (magari anche solo nella forma piu classica, in cui $M=0$ e $C=I$, ovvero nel caso di un sistema lineare omogeneo di equazioni differenziali, risultato che gia conoscevo, ma ancora senza dimostrazione, dai corsi di analisi)
ciao
per una questione di algebra lineare numerica, mi sono imbatutto nel seguente risultato: dato il sistema differenziale quadratico$MD^2[q(t)]+CD[q(t)]+Kq(t)=0$, con $M,C,K$ matrici quadrate di ordine $n$ e $q(t)$ vettore in $CC^n$ dipendente dal tempo $t$ (indico con $D[q(t)]$ e $D^2[q(t)]$ rispettivametne la derivata prima e seconda, componente per componente, del vettore $q(t)$), vale che una soluzione $q(t)$ decresce esponenzialmente (in norma) a zero per $t->+infty$ se e solo se ogni autovalore del pencil $(M,C,K)$, ovvero ogni $lambda \in CC$ tale che $det(lambda^2M+lambdaC+K)=0$, ha parte reale negativa.
Qualcuno conosce una dimostrazione di questo fatto? (magari anche solo nella forma piu classica, in cui $M=0$ e $C=I$, ovvero nel caso di un sistema lineare omogeneo di equazioni differenziali, risultato che gia conoscevo, ma ancora senza dimostrazione, dai corsi di analisi)
ciao
Risposte
Per prima cosa direi che il fatto che sia il sistema differenziale sia quadratico non credo importi molto, una equazione differenziale a coefficienti costanti di ordine $n$ si può riscrivere come sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti di ordine 1,
Quindi un sistema di equazioni differeniali di ordine 2 si trasforma in un sistema di equazioni differenziali di ordine 1.
Quindi il tutto si riduce allo studio dei sistemi del primo ordine, che in forma possiamo riscrivere in forma normale $\dot x = A x$, dove $x$ è il vettore di $m$ componenti $x_1(t)... x_m(t)$
Questo sistema ha soluzione omogenea data da $x(t)=e^{At} x(0)$, dove $e^{At}$ è l'esponenziale di matrice, e $x(0)$ è il vettore delle condizioni iniziali.
Il limite per $t->+\infty$ di $||x(t)|| -> 0$ se tutti gli autovalori della matrice $A$ sono a parte reale negativa. Supponiamo che $A$ sia simile ad una matrice diagonale $D$, quindi tramite il cambiamento di base $z=Tx$, possiamo scrivere il problema in una nuova base, come $\dot z=D z$.
La soluzione nella nuova base è $z = e^{Dt} z(0)$, ma l'esponenziale di matrice (basta applicare la definizione come serie) contiene sulla diagonale i termini $e^{\lambda_i t}$ dove $\lambda_i$ è un autovalore di $D$, dunque anche di $A$, e per fare in modo che il limite tenda a zero per ogni condizione iniziale, gli esponenziali devono essere a parte reale negativa!
Se la matrice non è simile ad una matrice diagonale si può fare un ragionamento simile usando le forme di Jordan, in cui si ha la similitudine con una matrice diagonale a blocchi, in cui ogni sottoblocco si può vedere come una matrice diagonale sommata ad una matrice con sovradiagonale di coefficienti unitari, e calcolando l'esponenziale di matrice si manifestano termini del tipo $t^h e^{\lambda_i t}$, ma comunque gli autovalori devono essere a parte reale negativa.
Alla fine si stanno risolvendo equazioni differenziali a coeffenti costanti omogenee, dunque le soluzioni sono esponenziali, e quindi affinchè queste tendano a zero per ogni condizione iniziale, le parti reali dell'esponente devono essere negative.
Mi scuso per il poco formalismo, ma non ho la dimostrazione formale di questo fatto, ho riproposto la versione "intuitiva" che mi era stata proposta. Spero sia comprensibile e corretta.
Quindi un sistema di equazioni differeniali di ordine 2 si trasforma in un sistema di equazioni differenziali di ordine 1.
Quindi il tutto si riduce allo studio dei sistemi del primo ordine, che in forma possiamo riscrivere in forma normale $\dot x = A x$, dove $x$ è il vettore di $m$ componenti $x_1(t)... x_m(t)$
Questo sistema ha soluzione omogenea data da $x(t)=e^{At} x(0)$, dove $e^{At}$ è l'esponenziale di matrice, e $x(0)$ è il vettore delle condizioni iniziali.
Il limite per $t->+\infty$ di $||x(t)|| -> 0$ se tutti gli autovalori della matrice $A$ sono a parte reale negativa. Supponiamo che $A$ sia simile ad una matrice diagonale $D$, quindi tramite il cambiamento di base $z=Tx$, possiamo scrivere il problema in una nuova base, come $\dot z=D z$.
La soluzione nella nuova base è $z = e^{Dt} z(0)$, ma l'esponenziale di matrice (basta applicare la definizione come serie) contiene sulla diagonale i termini $e^{\lambda_i t}$ dove $\lambda_i$ è un autovalore di $D$, dunque anche di $A$, e per fare in modo che il limite tenda a zero per ogni condizione iniziale, gli esponenziali devono essere a parte reale negativa!
Se la matrice non è simile ad una matrice diagonale si può fare un ragionamento simile usando le forme di Jordan, in cui si ha la similitudine con una matrice diagonale a blocchi, in cui ogni sottoblocco si può vedere come una matrice diagonale sommata ad una matrice con sovradiagonale di coefficienti unitari, e calcolando l'esponenziale di matrice si manifestano termini del tipo $t^h e^{\lambda_i t}$, ma comunque gli autovalori devono essere a parte reale negativa.
Alla fine si stanno risolvendo equazioni differenziali a coeffenti costanti omogenee, dunque le soluzioni sono esponenziali, e quindi affinchè queste tendano a zero per ogni condizione iniziale, le parti reali dell'esponente devono essere negative.
Mi scuso per il poco formalismo, ma non ho la dimostrazione formale di questo fatto, ho riproposto la versione "intuitiva" che mi era stata proposta. Spero sia comprensibile e corretta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo