Soluzione di questa serie di Mengoli?

[Mike.90]

Ciao ragazzi, ho un dubbio sulla risoluzione di questa serie di Mengoli:

$ sum_(n = 1) $ [1 / (2n-1)(2n+1)]

io arrivo fino a:

1 - (1/2n+1) = ?

A quanto è uguale? Il libro mi dice '1/2'. Perché 1/2?

Vi ringrazio infinitamente per l'aiuto!

Archer

[salvozungri]

Partiamo dal fatto che la successione [tex]\left\{\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] può essere espressa come:

[tex]\displaystyle\left\{\frac{1}{2 (2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)}\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex]. A questo punto studieremo la serie:

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2 (2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)} =\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)} \right)[/tex].

Consideriamo la somma parziale k-esima:

[tex]\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{n=1}^k \frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)} = \frac{1}{2} \left ( 1- \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}- \cdots- \frac{1}{2k+1}\right)= \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)[/tex].

Ora:

[tex]\displaystyle\sum_{n=}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2 (2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)} =\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)} \right)=[/tex]
[tex]= \displaystyle \lim_{k\to+\infty}\frac{1}{2}\sum_{n=1}^k \frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)} = \lim_{k\to+\infty} \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)[/tex]

Da cui è facile concludere