Soluzione di Hurwitz al problema isoperimetrico
Ciao! Mi sono imbattuta nella soluzione di Hurwitz del problema isoperimetrico.... Vogliamo dire che la curva che contiene la massima area tra quelle di perimetro assegnato è la circonferenza. Adesso imposto la dimostrazione che sto seguendo e poi vi dico dove ho dei problemi.
Consideriamo una curva regolare a tatti di perimetro $L$ e area $F$, la cui rappresentazione parametrica è
$x=x(s), y=y(s)$, $s in [0,L)$.
Introduciamo il nuovo parametro $t=2pis/L$ che varia dunque in $[0,2pi)$ e consideriamo le serie di Fourier di $x$ e $y$ rispettivamente:
$a_0/2+\sum_{k=1}^\infty a_k coskt+ b_k senkt$
$c_0/2+\sum_{k=1}^\infty c_k coskt+ d_k senkt$
Allora i coefficienti di Fourier di $(delx)/(delt)$ e di $(dely)/(delt)$ sono rispettivamente: $kb_k$, $-ka_k$ e $kd_k$, $-kc_k$.
Per proseguire, il libro presenta le relazioni:
$((delx)/(dels))^2+((dely)/(dels))^2 = 1$,
$((delx)/(delt))^2+((dely)/(delt))^2 = (L/(2pi))^2$,
$F=\int_0^{2pi} x(dely)/(delt) dt$
e da qui in poi la strada dovrebbe essere in discesa, mettendo insieme le cose dette... Ma non ho proprio capito da dove vengono fuori quelle tre cose elencate!
Scusate, spero che nessuno si indispettisca per questa domanda!
Intanto grazie!
Consideriamo una curva regolare a tatti di perimetro $L$ e area $F$, la cui rappresentazione parametrica è
$x=x(s), y=y(s)$, $s in [0,L)$.
Introduciamo il nuovo parametro $t=2pis/L$ che varia dunque in $[0,2pi)$ e consideriamo le serie di Fourier di $x$ e $y$ rispettivamente:
$a_0/2+\sum_{k=1}^\infty a_k coskt+ b_k senkt$
$c_0/2+\sum_{k=1}^\infty c_k coskt+ d_k senkt$
Allora i coefficienti di Fourier di $(delx)/(delt)$ e di $(dely)/(delt)$ sono rispettivamente: $kb_k$, $-ka_k$ e $kd_k$, $-kc_k$.
Per proseguire, il libro presenta le relazioni:
$((delx)/(dels))^2+((dely)/(dels))^2 = 1$,
$((delx)/(delt))^2+((dely)/(delt))^2 = (L/(2pi))^2$,
$F=\int_0^{2pi} x(dely)/(delt) dt$
e da qui in poi la strada dovrebbe essere in discesa, mettendo insieme le cose dette... Ma non ho proprio capito da dove vengono fuori quelle tre cose elencate!
Scusate, spero che nessuno si indispettisca per questa domanda!
Intanto grazie!
Risposte
La prima relazione viene dal fatto che $s$ è l'ascissa curvilinea, quindi il modulo del vettore tangente $((partial x)/(\partial s),(partial y)/(\partial s))$ è unitario.
La seconda viene fuori dal cambiamento di parametro $t=(2pi)/L s$ e dal teorema di derivazione delle funzioni composte.
La terza è la formula di Gauss-Green per l'area:
$F=\int_(\partial D) x" d"y$
ove $D$ è il dominio limitato racchiuso dalla tua curva (che costituisce quindi il bordo di $D$, cioè $\partial D$).
P.S.: Giusto per curiosità, che stai studiando? E da quale libro?
La seconda viene fuori dal cambiamento di parametro $t=(2pi)/L s$ e dal teorema di derivazione delle funzioni composte.
La terza è la formula di Gauss-Green per l'area:
$F=\int_(\partial D) x" d"y$
ove $D$ è il dominio limitato racchiuso dalla tua curva (che costituisce quindi il bordo di $D$, cioè $\partial D$).
P.S.: Giusto per curiosità, che stai studiando? E da quale libro?
Grazie mille 
! Ho qualche problema a capire la terza perchè il teorema di Gauss-Green non l'ho ancora visto in nessun corso ma spero di cavarci i piedi cercando qualcosa sui vari libri che ho a disposizione...
Comunque è l'argomento di una tesina per un corso che riguarda le serie di Fourier e il libro che sto usando è Methods of Mathematical Physics di Courant - Hilbert.
Grazie ancora!!!
! Ho qualche problema a capire la terza perchè il teorema di Gauss-Green non l'ho ancora visto in nessun corso ma spero di cavarci i piedi cercando qualcosa sui vari libri che ho a disposizione...Comunque è l'argomento di una tesina per un corso che riguarda le serie di Fourier e il libro che sto usando è Methods of Mathematical Physics di Courant - Hilbert.
Grazie ancora!!!
Mi stai dicendo che hai fatto le serie di Fourier senza aver fatto Analisi II? 
Ad ogni modo, qui trovi un po' di materiale; per ricavare la formula che ti occorre solo porre $Q=x$ nella [2].
Ad ogni modo, qui trovi un po' di materiale; per ricavare la formula che ti occorre solo porre $Q=x$ nella [2].
Grazie ancora 
! Ora dovrei davvero aver capito...
Comunque in realtà io ho già dato tutti i corsi fondamentali di Analisi che avrei dovuto dare fino a questo punto. Prima della laurea tiennale, l'unico fondamentale di Analisi che mi manca è Istituzioni di Analisi Superiore che però è dell'anno prossimo.
Grazie ancora della pazienza!
! Ora dovrei davvero aver capito...Comunque in realtà io ho già dato tutti i corsi fondamentali di Analisi che avrei dovuto dare fino a questo punto. Prima della laurea tiennale, l'unico fondamentale di Analisi che mi manca è Istituzioni di Analisi Superiore che però è dell'anno prossimo.
Grazie ancora della pazienza!
Curioso 'sto fatto, però... Ed il Teorema della divergenza l'hai visto? Questo si usa un po' di più, quindi penso di sì.
Oh, tieni presente che sono curiosità mie; sei liberissima di non rispondere.
Oh, tieni presente che sono curiosità mie; sei liberissima di non rispondere.
Figurati! Comunque.....no 
! Probabilmente tutte queste belle cose le vedrò o in un opzionale o in Istituzioni...
Grazie ancora !
! Probabilmente tutte queste belle cose le vedrò o in un opzionale o in Istituzioni...Grazie ancora
!
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