Soluzione dell'oscillatore armonico

[5mrkv]

L'equazione differenziale $\ddot x +\omega^2x=0$ dopo avere effettuato una sostituizione diventa $\lambda^2+\omega^2=0 \Rightarrow |\lambda|=i \omega$ e le soluzioni fondamentali sono $e^{i\omega t}$ e $e^{-i\omega t}$ che portano alla soluzione $s=c_1e^{i\omega t}+c_2e^{-i\omega t}$. Questa soluzione si può riscrivere ricordando che $\sin (\omega t)=\frac{1}{2i}(e^{i\omega t}-e^{-i\omega t})$ e $\cos (\omega t)=\frac{1}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$ e diventa $s=k_1cos(\omega t)+ k_2 cos(\omega t)$. Ora, non ho capito la validità di questa trasformazione dalla prima soluzione alla seconda. Un cambiamento di base? Qual è la spiegazione formale? Inoltre trovo spesso in giro che la soluzione è scritta come $s=A_1\cos(\omega t+\theta)$. Quale rapporto la lega alle precedenti?

[gugo82]

Per fugare il primo dubbio, basta usare la linearità.
Se \(\phi_1,\phi_2\) sono due soluzioni linearmente indipendenti della EDO, e se \(\psi_1,\psi_2\) sono due combinazioni lineari indipendenti di \(\phi_1,\phi_2\), la linearità della EDO ti assicura che anche \(\psi_1,\psi_2\) sono soluzioni; inoltre, visto che \(\{\phi_1,\phi_2\}\) è una base per lo spazio delle soluzioni, anche \(\{\psi_1,\psi_2\}\) è una base per tale spazio.

L'unica cosa che può sembrare strana è che si deve riguardare la EDO come equazione nel campo complesso per ottenere due soluzioni reali... Però questo fatto si potrebbe sistemare formalmente senza andare ad usare gli esponenziali complessi.

***

Per quanto riguarda il secondo punto, si prova che è possibile scrivere ogni combinazione lineare di funzioni seno e coseno con la stessa frequenza usando un solo coseno od un solo seno sfasato.
Datto, in modo preciso, prendiamo una funzione del tipo:
\[
x(t)=k_1\ \cos \omega t+k_2\ \sin \omega t
\]
e facciamo vedere che esistono costanti \(A,\theta, \phi\) tali che \(A\geq 0\), \(\theta,\phi \in [0,2\pi[\) e:
\[
x(t)=A\ \sin (\omega t+\theta) =A\ \cos (\omega t+\phi)\; .
\]
Se \(k_1=0=k_2\) basta prendere \(A=0\), quindi supponiamo che almeno uno tra \(k_1,k_2\) sia \(\neq 0\): in tal caso si può moltiplicare e dividere per \(k_1^2+k_2^2>0\) ed avere:
\[
x(t)=(k_1^2+k_2^2)\ \Bigg( \underbrace{\frac{k_1}{k_1^2+k_2^2}}_{\alpha}\ \cos \omega t +\underbrace{\frac{k_2}{k_1^2+k_2^2}}_{\beta}\ \sin \omega t\Bigg)\; ;
\]
ora, i coefficienti \(\alpha, \beta\) sono tali che \(\alpha^2+\beta^2=1\) ergo esiste un \(\theta \in [0,2\pi[\) tale che \(\alpha =\sin \theta,\ \beta =\cos \theta\), quindi posto \(A=k_1^2+k_2^2\) risulta:
\[
x(t)=A\ \Big( \sin \theta\ \cos \omega t+\cos \theta\ \sin \omega t\Big)
\]
e per la formula di addizione del seno:
\[
x(t)=A\ \sin (\omega t+\theta).
\]
Infine, è noto che per ogni \(\theta\) esiste \(\phi\) tale che \(\sin (\omega t+\theta)=\cos (\omega t+\phi)\) (perché ogni sinusoide è una cosinusoide traslata) e quindi vale anche la seconda rappresentazione di \(x(t)\).

[Camillo]

Si desidera passare dalla rappresentazione in forma complessa della soluzione cioè $s= c_1e^(j omega t)+c_2 e^(-j omega t )$ a una soluzione reale , basta giocare sui coefficienti $c_1,c_2 $ assegnadogli dei valori complessi opportuni.
Mi suona strano che si arrivi a quanto dici, piuttosto a $s=k_1cos(omega t)+k_2 sin(omega t)$, cioè a una combinazione lineare di seni e coseni , della stessa pulsazione $ omega$ e quindi della stessa frequenza $f $, essendo $ omega = 2 pi f $.

Per il secondo punto sempre giocando sui coefficienti di proporzionalità ottieni :
$ s=A cos( omega t+theta)=A( cos omega t *cos theta -sin omega t *sin theta )=A (k_1 cos omegat +k_2 sin omega t) $, esprimendo così la soluzione come un'onda cosinusoidale sfasata di un certo angolo $theta $ ( naturalemnte puoi anche esprimere la soluzione come un'onda sinusoidale sfasata di un opportuno angolo $psi $).

P.S. Non avevo visto la precisa risposta di gugo

[5mrkv]

Si, in effetti ho sbagliato a scrivere. Grazie mille, chiarissimi.