Soluzione della serie

[rmba]

Un saluto a tutti. Chi mi saprebbe spiegare come risolvere questa serie?

$sum_(k = \0) ( (n+k), (k) ) *(1/2p)^(n+k)$

per k tendente a + infinto

Inoltre viene suggerito che

$sum_(k = \0) ( (n+k-1), (k) ) *x^k = 1/(1-x)^n $

sempre per k tendente a + infinito.

Grazie.

[pilloeffe]

Ciao rmba,

Dal suggerimento:

$ sum_{k = 0}^{+\infty} ( (n+k-1), (k) ) x^k = 1/(1-x)^n \qquad \qquad |x| < 1 $

Posto $m := n - 1 $, si ha:

$ sum_{k = 0}^{+\infty} ( (m+k), (k) ) x^k = 1/(1-x)^{m + 1} \qquad \qquad |x| < 1 $

Richiamando nuovamente $m$ con $n$, si ha:

$ sum_{k = 0}^{+\infty} ( (n+k), (k) ) x^k = 1/(1-x)^{n + 1} \qquad \qquad |x| < 1 $

Moltiplicando tutto per $x^n $ si ha:

$ sum_{k = 0}^{+\infty} ( (n+k), (k) ) x^{n + k} = x^n (1-x)^{-n - 1} \qquad \qquad |x| < 1 $

Quest'ultima, posto $x := p/2 $, coincide con la serie proposta:

[tex]\begin{equation}
\boxed{\sum_{k = 0}^{+\infty} \binom{n+k}{k} \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^{n + k} = \bigg(\frac{p}{2} \bigg)^n \bigg(1- \frac{p}{2}\bigg)^{-n - 1} \qquad \qquad |p| < 2 \qquad}
\end{equation}[/tex]