Soluzione debole entropica
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto con questo esercizio
$(delu)/(delt)+(del[Vu(1-u)])/(delx)=0$
con condizione iniziale
$u_0(x)\{(u_s,xa):}$
a) supponendo che $u_s
Applicando la relazione di Rankine-Hugoniot trovo che
$u(x,t)\{(u_s,x<\xi(t)),(u_d,x>\xi(t)):}$
dove $\xi(t)=(f(u_d)-f(u_s))/(u_d-u_s)t+a$ e $f(u)=Vu(1-u)$
Come faccio a verificare che è una soluzione entropica e di conseguenza dire se è uno shock o un'onda di rarefazione ?
Grazie
$(delu)/(delt)+(del[Vu(1-u)])/(delx)=0$
con condizione iniziale
$u_0(x)\{(u_s,x
a) supponendo che $u_s
Applicando la relazione di Rankine-Hugoniot trovo che
$u(x,t)\{(u_s,x<\xi(t)),(u_d,x>\xi(t)):}$
dove $\xi(t)=(f(u_d)-f(u_s))/(u_d-u_s)t+a$ e $f(u)=Vu(1-u)$
Come faccio a verificare che è una soluzione entropica e di conseguenza dire se è uno shock o un'onda di rarefazione ?
Grazie
Risposte
Quale definizione (o caratterizzazione equivalente) usi di soluzione entropica?
Grazie della risposta
$u$ è detta soluzione debole entropica del problema di cauchy se $u$ è soluzione debole e se per tutte le coppie entropia-flusso,$u$ soddisfa la disuguaglianza d'entropia
$(delE(u))/(delt)+(delF(u))/(delx)<=0$
questa disuguaglianza è intesa in senso debole: per tutte le funzioni $\phiinC_c^1(RR*[0,+infty])$ si ha
$\phi>=0$ $=>$ $\int_0^{+infty} int_{-infty}^{+infty} E(u)(del\phi)/(delt)+F(u)(del\phi)/(delx) dxdy>=0$
Sia $finC^1(RR)$.Chiamiamo coppie entropia-flusso $f$-ammissibile tutte le coppie di funzioni $(E,F)$ tale che $EinC^1(RR)$ sia convessa e $FinC^1(RR)$ soddisfino $AA s in RR, F'(s)=f'(s)E'(s)$
$u$ è detta soluzione debole entropica del problema di cauchy se $u$ è soluzione debole e se per tutte le coppie entropia-flusso,$u$ soddisfa la disuguaglianza d'entropia
$(delE(u))/(delt)+(delF(u))/(delx)<=0$
questa disuguaglianza è intesa in senso debole: per tutte le funzioni $\phiinC_c^1(RR*[0,+infty])$ si ha
$\phi>=0$ $=>$ $\int_0^{+infty} int_{-infty}^{+infty} E(u)(del\phi)/(delt)+F(u)(del\phi)/(delx) dxdy>=0$
Sia $finC^1(RR)$.Chiamiamo coppie entropia-flusso $f$-ammissibile tutte le coppie di funzioni $(E,F)$ tale che $EinC^1(RR)$ sia convessa e $FinC^1(RR)$ soddisfino $AA s in RR, F'(s)=f'(s)E'(s)$
Va bene, si tratta della definizione standard.
Ciò che si può dimostrare (e che probabilmente hai già visto) a partire dalla definizione è la seguente condizione di stabilità: se \(u\) è una soluzione debole di classe \(C^1\) a tratti, e se \((t,x)\) è un punto che giace su una curva di salto, allora
\[
\frac{f(u^+) - f(u^*)}{u^+ - u^*} \leq \frac{f(u^*) - f(u^-)}{u^* - u^-},
\qquad \forall u^* \in I(u^-,u^+),
\]
dove \(u^-\) e \(u^+\) indicano, come al solito, i limiti sinistro e destro nel punto di discontinuità, mentre con \(I(u^-,u^+)\) ho indicato l'intervallo aperto avente per estremi \(u^-\) ed \(u^+\).
In particolare, nel caso di un flusso concavo (come il tuo) queste condizioni implicano
\[
u^- \leq u^+,\qquad
f'(u^-) \leq \dot{\xi} \leq f(u^+).
\]
Da qui segue che nel caso (a) l'unica soluzione debole entropica è quella con uno shock, mentre nel caso (b) è quella con un'onda di rarefazione.
Ciò che si può dimostrare (e che probabilmente hai già visto) a partire dalla definizione è la seguente condizione di stabilità: se \(u\) è una soluzione debole di classe \(C^1\) a tratti, e se \((t,x)\) è un punto che giace su una curva di salto, allora
\[
\frac{f(u^+) - f(u^*)}{u^+ - u^*} \leq \frac{f(u^*) - f(u^-)}{u^* - u^-},
\qquad \forall u^* \in I(u^-,u^+),
\]
dove \(u^-\) e \(u^+\) indicano, come al solito, i limiti sinistro e destro nel punto di discontinuità, mentre con \(I(u^-,u^+)\) ho indicato l'intervallo aperto avente per estremi \(u^-\) ed \(u^+\).
In particolare, nel caso di un flusso concavo (come il tuo) queste condizioni implicano
\[
u^- \leq u^+,\qquad
f'(u^-) \leq \dot{\xi} \leq f(u^+).
\]
Da qui segue che nel caso (a) l'unica soluzione debole entropica è quella con uno shock, mentre nel caso (b) è quella con un'onda di rarefazione.
Grazie della risposta, ho capito come dimostrare che sono soluzioni entropiche.
Come faccio a distinguere tra shock e onda di rarefazione ?
Come faccio a distinguere tra shock e onda di rarefazione ?
Un altro dubbio
Nel caso a) ho il teorema che hai citato tu che mi assicura che $u$ è soluzione entropica.
Nel caso b) $u^−>=u^+$ dunque la condizione non è rispettata, come faccio a dire che $u$ è una soluzione entropica?
Nel caso a) ho il teorema che hai citato tu che mi assicura che $u$ è soluzione entropica.
Nel caso b) $u^−>=u^+$ dunque la condizione non è rispettata, come faccio a dire che $u$ è una soluzione entropica?
Nel caso (b) la soluzione è continua e \(C^1\) a tratti, dunque per ogni coppia entropia-flusso si ha
\[
\frac{\partial E(u)}{\partial t} + \frac{\partial F(u)}{\partial x} = 0
\]
nel senso delle distribuzioni.
\[
\frac{\partial E(u)}{\partial t} + \frac{\partial F(u)}{\partial x} = 0
\]
nel senso delle distribuzioni.
Grazie mille per la disponibilità
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