Soluzione costante di un problema di Cauchy
Buongiorno a tutti.
Considerando il seguente problema di Cauchy, caratterizzato da un'equazione differenziale a variabili separabili:
\begin{cases} y'(x) = f(y(x)) h(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
e supponendo che $h(x)$ è una funzione continua su un aperto contenente $x_0$ e $f$ è continua e derivabile su un intervallo aperto J contenente $y_0$, allora nel caso in cui:
$y_0 = 0$ possiamo dire che esiste sempre una soluzione definita su tutta la retta reale e costante?
Sappiamo che la soluzione stazionaria dell'equazione differenziale, si individua ponendo $f(y(x)) = 0$ in quanto è la soluzione che perdiamo quando andiamo a dividere. Ma quindi nel caso in cui $y_0 = 0$ allora esisterà sempre una soluzione costante sulla retta reale?
Considerando il seguente problema di Cauchy, caratterizzato da un'equazione differenziale a variabili separabili:
\begin{cases} y'(x) = f(y(x)) h(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
e supponendo che $h(x)$ è una funzione continua su un aperto contenente $x_0$ e $f$ è continua e derivabile su un intervallo aperto J contenente $y_0$, allora nel caso in cui:
$y_0 = 0$ possiamo dire che esiste sempre una soluzione definita su tutta la retta reale e costante?
Sappiamo che la soluzione stazionaria dell'equazione differenziale, si individua ponendo $f(y(x)) = 0$ in quanto è la soluzione che perdiamo quando andiamo a dividere. Ma quindi nel caso in cui $y_0 = 0$ allora esisterà sempre una soluzione costante sulla retta reale?
Risposte
Forse volevi dire \(f(y_0) = 0\). In tal caso la funzione \(y(x) = y_0\), \(x\in\mathbb{R}\), è una soluzione del problema di Cauchy.
Grazie della rapida risposta.
Bene, provo a ricapitolare meglio la mia domanda. Dato il problema di Cauchy:
\[ \begin{cases} y'(x) = f(y(x)) h(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]
con l'equazione differenziale a variabili separabili, e sapendo che:
-h(x) è continua su un aperto contenente $x_0$
-f(y(x)) è continua e derivabile su un aperto contenente $y_0$
Osserviamo che se le condizioni sopra descritte sono valide, allora è soddisfatto il teorema di esistenza e di unicità locale del problema di Cauchy.
Adesso, facciamo una seconda ipotesi, questa volta sulla condizione iniziale del PC:
-$y_0 = 0.$
Quindi possiamo dire che se $f(y(x)) = 0$, allora l'unica soluzione del PC è $y(x) = 0$?
Grazie dell'attenzione.
Bene, provo a ricapitolare meglio la mia domanda. Dato il problema di Cauchy:
\[ \begin{cases} y'(x) = f(y(x)) h(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]
con l'equazione differenziale a variabili separabili, e sapendo che:
-h(x) è continua su un aperto contenente $x_0$
-f(y(x)) è continua e derivabile su un aperto contenente $y_0$
Osserviamo che se le condizioni sopra descritte sono valide, allora è soddisfatto il teorema di esistenza e di unicità locale del problema di Cauchy.
Adesso, facciamo una seconda ipotesi, questa volta sulla condizione iniziale del PC:
-$y_0 = 0.$
Quindi possiamo dire che se $f(y(x)) = 0$, allora l'unica soluzione del PC è $y(x) = 0$?
Grazie dell'attenzione.
"paolodocet":
Adesso, facciamo una seconda ipotesi, questa volta sulla condizione iniziale del PC:
-$y_0 = 0.$
Quindi possiamo dire che se $f(y(x)) = 0$, allora l'unica soluzione del PC è $y(x) = 0$?
Possiamo dire che, se \(f(y_0) = 0\), allora una soluzione (nelle ipotesi date, l'unica) del PdC è quella costante \(y(x) = y_0\).
Adesso, se vuoi, puoi anche mettere \(y_0 = 0\), ma il valore di \(y_0\) non è importante in questa questione (è importante, invece, che \(f\) si annulli in \(y_0\)).
Ti ringrazio, sei stato molto gentile e mi hai tolto un po' di dubbi. Un'ultima cosa per favore:
se prendo in considerazione il seguente problema di Cauchy:
\begin{cases} y'(x)f(y) = 2yh(x) \\ y(x_0) = y_0. \end{cases}
sempre sotto le medesime ipotesi:
1) $h(x)$ è continua in un aperto contenente $x_0$
2) $f(y)$ è continua derivabile in un aperto contenente $y_0$
(e quindi è rispettato il teorema di unicità ed esistenza locale)
Supponendo inoltre:
$y_0=0$
è vero che posso sempre scegliere $f$ e $h$ in modo tale che la soluzione sia NON COSTANTE e definita su tutta la retta reale?
Inoltre, il fatto che sia soddisfatto il teorema di unicità ed esistenza locale, mi consente di affermare con sicurezza, che esiste SEMPRE una soluzione?
Per quanto concerne al mio primo quesito, rifacendomi alle tue spiegazioni precedenti, in tal caso, non dovrei individuare una soluzione del tipo:
$y(x) = y_0$
COSTANTE SULLA RETTA REALE?
Per quanto concerne il secondo quesito, ipotizzo che la validità del teorema, mi dia delle informazioni sulla certa esistenza di una soluzione.
Grazie dell'aiuto, della pazienza e della disponibilità. Buon sabato pomeriggio. Ciao.
se prendo in considerazione il seguente problema di Cauchy:
\begin{cases} y'(x)f(y) = 2yh(x) \\ y(x_0) = y_0. \end{cases}
sempre sotto le medesime ipotesi:
1) $h(x)$ è continua in un aperto contenente $x_0$
2) $f(y)$ è continua derivabile in un aperto contenente $y_0$
(e quindi è rispettato il teorema di unicità ed esistenza locale)
Supponendo inoltre:
$y_0=0$
è vero che posso sempre scegliere $f$ e $h$ in modo tale che la soluzione sia NON COSTANTE e definita su tutta la retta reale?
Inoltre, il fatto che sia soddisfatto il teorema di unicità ed esistenza locale, mi consente di affermare con sicurezza, che esiste SEMPRE una soluzione?
Per quanto concerne al mio primo quesito, rifacendomi alle tue spiegazioni precedenti, in tal caso, non dovrei individuare una soluzione del tipo:
$y(x) = y_0$
COSTANTE SULLA RETTA REALE?
Per quanto concerne il secondo quesito, ipotizzo che la validità del teorema, mi dia delle informazioni sulla certa esistenza di una soluzione.
Grazie dell'aiuto, della pazienza e della disponibilità. Buon sabato pomeriggio. Ciao.
"paolodocet":
Ti ringrazio, sei stato molto gentile e mi hai tolto un po' di dubbi. Un'ultima cosa per favore:
se prendo in considerazione il seguente problema di Cauchy:
\begin{cases} y'(x)f(y) = 2yh(x) \\ y(x_0) = y_0. \end{cases}
Questa equazione non è in forma normale, quindi può succedere qualsiasi cosa (pensa al caso in cui \(f\) è identicamente nulla, ad esempio).
"Rigel":
pensa al caso in cui f è identicamente nulla, ad esempio
Ecco, tra le ipotesi precedenti c'è anche la condizione secondo cui f(y) NON è identicamente nulla.
Inoltre un'altra ipotesi è che h, non dipende da y.
Considerando queste ipotesi in più, riesco a dire qualcos'altro relativamente alle domande precedenti?
1)
"paolodocet":
è vero che posso sempre scegliere f e h in modo tale che la soluzione sia NON COSTANTE e definita su tutta la retta reale?
2)
"paolodocet":
che esiste SEMPRE una soluzione?
Purtroppo sono in difficoltà. Grazie comunque per la disponibilità, ciao.
Anche se \(f\) non è identicamente nulla, la puoi prendere nulla in un intorno di \(0\), ad esempio in \([-1,1]\), e vale quanto già detto.
Forse tu stai pensando ad una funzione tale che \(f(0) = 0\) ma \(f'(0) \neq 0\), in maniera tale che \(f\) non si annulli in un intorno dell'origine (origine esclusa).
Magari se ci dici quale sia il problema originale si capisce meglio...
Forse tu stai pensando ad una funzione tale che \(f(0) = 0\) ma \(f'(0) \neq 0\), in maniera tale che \(f\) non si annulli in un intorno dell'origine (origine esclusa).
Magari se ci dici quale sia il problema originale si capisce meglio...
Bene. Ti espongo direttamente la domanda.
Devo rispondere una tra le risposte a questo quesito:
Considerando il problema di Cauchy:
\[ \begin{cases} y'(x) = f(y(x)) h(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]
con $f(y) in C^1(U) $ non identicamente nulla e $h in C^0(W)$ che non dipende da y dove W è un intorno di $x_0$ e U è un intorno di $y_0$.
Quale risposta è corretta?
1) esiste sempre una soluzione;
2) per $y_0 = 0$ e qualsiasi $x_0$, allora posso sempre scegliere f e h in modo che la soluzione sia definita su tutta la retta reale e non costante
3) supponendo $f<0$ e data $h$, posso sempre individuare delle condizioni iniziali in modo tale che la soluzione sia non decrescente
4) supponendo $h<0$, allora la soluzione y(x) è strettamente decrescente per qualsiasi scelta si faccia della condizione iniziale e di f
Io avevo escluso le ultime due, pensando che la risposta corretta fosse la prima, dato che il teorema di unicità ed esistenza locale è verificato. Ma ho dei dubbi su come ragionare per scartare le altre(ammesso che abbia ragione).
Ciao, grazie per l'attenzione che stai dedicando al mio quesito.
Devo rispondere una tra le risposte a questo quesito:
Considerando il problema di Cauchy:
\[ \begin{cases} y'(x) = f(y(x)) h(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]
con $f(y) in C^1(U) $ non identicamente nulla e $h in C^0(W)$ che non dipende da y dove W è un intorno di $x_0$ e U è un intorno di $y_0$.
Quale risposta è corretta?
1) esiste sempre una soluzione;
2) per $y_0 = 0$ e qualsiasi $x_0$, allora posso sempre scegliere f e h in modo che la soluzione sia definita su tutta la retta reale e non costante
3) supponendo $f<0$ e data $h$, posso sempre individuare delle condizioni iniziali in modo tale che la soluzione sia non decrescente
4) supponendo $h<0$, allora la soluzione y(x) è strettamente decrescente per qualsiasi scelta si faccia della condizione iniziale e di f
Io avevo escluso le ultime due, pensando che la risposta corretta fosse la prima, dato che il teorema di unicità ed esistenza locale è verificato. Ma ho dei dubbi su come ragionare per scartare le altre(ammesso che abbia ragione).
Ciao, grazie per l'attenzione che stai dedicando al mio quesito.
Ciao ragazzi, immagino che siate impegnati, ma faccio un nuovo tentativo.
Potrebbe essere la prima la risposta corretta? Ossia quella secondo cui esiste sempre una soluzione?
Spero qualcuno risponderà, intanto ringrazio anticipatamente. Buona giornata.
Potrebbe essere la prima la risposta corretta? Ossia quella secondo cui esiste sempre una soluzione?
Spero qualcuno risponderà, intanto ringrazio anticipatamente. Buona giornata.
"paolodocet":
Bene. Ti espongo direttamente la domanda.
Devo rispondere una tra le risposte a questo quesito:
Considerando il problema di Cauchy:
\[ \begin{cases} y'(x) = f(y(x)) h(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]
con $f(y) in C^1(U) $ non identicamente nulla e $h in C^0(W)$ che non dipende da y dove W è un intorno di $x_0$ e U è un intorno di $y_0$.
Quale risposta è corretta?
1) esiste sempre una soluzione;
2) per $y_0 = 0$ e qualsiasi $x_0$, allora posso sempre scegliere f e h in modo che la soluzione sia definita su tutta la retta reale e non costante
3) supponendo $f<0$ e data $h$, posso sempre individuare delle condizioni iniziali in modo tale che la soluzione sia non decrescente
4) supponendo $h<0$, allora la soluzione y(x) è strettamente decrescente per qualsiasi scelta si faccia della condizione iniziale e di f
Io avevo escluso le ultime due, pensando che la risposta corretta fosse la prima, dato che il teorema di unicità ed esistenza locale è verificato. Ma ho dei dubbi su come ragionare per scartare le altre(ammesso che abbia ragione).
Ciao, grazie per l'attenzione che stai dedicando al mio quesito.
La 1 è corretta: una volta che il secondo membro è una funzione continua nelle due variabili \(x,y\) l'esistenza della soluzione è garantita (teorema di Peano).
La 2 è anch'essa corretta: scegli sia \(f\) che \(h\) costanti uguali a \(1\) (ad esempio).
La 3 non è vera: basta scegliere anche \(h < 0\).
La 4 non è vera: basta scegliere \(f < 0\).
Ciao Rigel, grazie per la celere risposta. Dunque da quanto mi hai spiegato, le condizioni che hai citato nel problema di Cauchy in generale, valgono pure in questo caso:
Vero?
Grazie per la tua disponibilità.
"paolodocet":
se prendo in considerazione il seguente problema di Cauchy:
\[ \begin{cases} y'(x)f(y) = 2yh(x) \\ y(x_0) = y_0. \end{cases} \]
Vero?
Grazie per la tua disponibilità.
No. Rimangono vere se \(f(y)\neq 0\) per ogni \(y\), ma non in generale.
Buongiorno Rigel. Ti ringrazio, mi hai chiarito parecchi dubbi. Ciao 
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