Soluzione approssimata per y=y(x)

[ciccionet1]

come si determina una soluzione approssimata per y=y(x) approssimata al secondo ordine?
Per esempio di questa equazione
(x+4y^2)e^(xy)-4=0
nel punto (0,1)
grazie a tutti!!!!

[goblyn]

Basta derivare il primo membro (il secondo fa sempre 0...) rispetto a x:

(1+8yy'+(x+4y^2)*(y+xy'))*e^(xy)=0

Ora sostituisci (0,1):

(1+8y'+4)=0 ==> y'=-5/8

Ora deriva ancora rispetto a x e poi sostituisci ancora (0,1) ma anche y'=-5/8 e troverai y''.

[ciccionet1]

scusa la mia ignoranza ma come hai derivato rispetto a x?
Se io derivo ((x+4y^2)e^(xy))-4, cioè il primo membro, rispetto a x ottengo
e^xy + ye^xy(x+4y^2) o sbaglio?
nn ho capito questi passaggi!

[goblyn]

devi pensare y come una funzione di x, cioè y=y(x). Quindi la derivata di y rispetto a x è y'. Se hai un'espressione del tipo xy quando la derivi ottieni:

d/dx(xy) = y * d/dx (x) + x * d/dx (y) =

= y + x*y'

e così via!

ad esempio la derivata di e^(xy) è:

e^(xy) * (y+x*y')

[ciccionet1]

è un pò complesso!!!
Io alla fine dovrei ottenere una y(x)=y(x0)+y'(x0)(x-x0)+1/2(y''(x0)(x-x0)^2
nel mio caso avendo il punto (0,1) so che:
y(0)=1
y(x)=1+y'(0)x+1/2(y''(0)x^2)
Ora se F(x,y(x))=0
allora Fx+Fy(dy/dx)=0 quindi dy/dx=-(Fx/Fy) che equivale a calcolare derivata prima di x e y nel punto dato e sostituire e ottengo y'(0)= -5/8
Esatto???
Per calcolare y'' potrei quindi applicare la seguente:
y''= ( ( Fxx + (2Fxy(y')) + (Fyy(y')^2) ) / Fy )giusto?????
e poi sostituire!

[goblyn]

La formula per y' va bene. La seconda non lo so non ho fatto i conti. Ma, a parte le formule, basta derivare rispetto a x la tua equazione una volta per ottenere y' e due volte per ottenere y'', tenendo presente che y è una funzione di x e quindi la derivata di y non è 0 ma y'. Es:

y*log(x+y)=0

derivo rispetto a x:

y'*log(x+y) + [y / (x+y)] * (1+y') = 0

da cui ricavi y'.

Poi derivi ancora rispetto a x:

y''*log(x+y) + [y'/(x+y)]*(1+y') + ....