Solido di rotazione con integrale triplo

[sdrabb1]

ciao a tutti... ho riscontrato dei problemi nell'effettuare il seguente esercizio... se cortesemente quaalcuno potrebbe aiutarmi...

facendo ruotare intorno all'asse Z in $ R^3 $ l'insieme $ A={(y,z)in R^2 $ $ | 0<=y<=1,z<=1-y^2 $ $ } $

si ottiene un volume $ CinR^3 $ .

calcolare se possibile : $ int int int_(A)^() |x|dx dy dz $

io ho proceduto trasformandolo il cordinate sferiche ottenendo cosi'

$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi/2)int_(0)^(1) |rhosenvarphi cos vartheta | *rho^2sinvarphidrho dvarphi dvartheta $
infine calcolando l'integrale ottengo zero.....

non riesco a capire dove sbaglio.... qualcuno potrebbe indicarmi la retta via
inoltre nn riesco a capire come ci si approccia con il valore assoluto che sta nella integranda.... se è possibile qualcuno mi potrebbe indicare il mio errore....

[Quinzio]

L'errore è che non hai chiaro di come è fatto e cos'è il solido da analizzare.
$z<1-y^2$ altro non è che un arco di parabola quindi risulta il solito paraboloide "rovesciato".

A questo punto passare in coordinate sferiche non ha senso, ma sono più indicate quelle cilindriche.

$2\int_(-\pi/2)^(\pi/2)\int_0^1 \int_0^(1-\rho^2) \rho^2 cos\phi\ dz\ d\rho\ d\phi$

Il $|x|$ è stato valutato tenendo conto che $|x|$ è una funzione pari: quindi si divide il dominio $A$ in modo che in uno dei sottodomini $x$ non cambi segno. Allora, grazie alla simmetria del dominio $A$ si può raddoppiare il valore dell'integrale e considerare solo la parte dove $x>0$.

[sdrabb1]

ok grazie mille! non mi è chiaro come ottieni quell' $ 1-rho^2 $ potresti spiegarmelo per favore ?

[sdrabb1]

ristudiandomi un pò gli appunto ho trovato un altro metodo che non sò se è giusto però a me torna come ragionamento....
tagliando la semisfera con assi perpendicolare all'asse z ottengo
un insieme di circonferenze di equazione: $ x^2+y^2<=(sqrt(-z+1))^2 $

poichè l'area della circonferenzaa è data da $ pi*r^2 $ dunque l'are di ogni circonferenza è data da $ A_c= pi*(-z+1) $

infine risolvendo il segente integrale ottengo il volume del solido:

$ int_0^1pi(-z+1)dz=1/2pi $

può essere valida esecuzione dell'esercizio?

[Quinzio]

Ma non è una "semisfera".

[sdrabb1]

cm non detto... potresti spiegarmi come ottieni l'intervallo di integrazione del raggio per favore?

[Quinzio]

Il raggio va da 0 a 1.

E' scritto lassù in alto nel dominio $0

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[sdrabb1]

grazie mille!