Solido di rotazione

[Daddarius1]

Devo calcolare il volume del solido ottenuto ruotando attorno all'asse y il sottoinsieme del primo quadrante $D=(xy>1)nn(x^2 + y^2<=4 sqrt(3)/(3)) $. So che la formula è $V=2pi int_(a)^(b) x f(x) dx$; ora non so quale è la mia f(x) e gli estremi di integrazione! la parte di piano è delimitata dalla y tale che $y>1/x $ e dalla circonferenza di raggio $2/(3)^(1/4)$.

[Noisemaker]

non userei quella formula li...; dato l'insieme
\[D:=\{(x;y)\in \mathbb{R}^2: xy>1,x^2+y^2\le4/\sqrt3, x>0,y>0\};\]
per il teorema di Pappo-Guldino hai che il volume del solido $C$ ottenuto facendo ruotare attorno all'asse $y$ la regione del piano descritta dall'insieme $D$ è data da
\[m(C):=2\pi\cdot \bar x\cdot m(D),\]
dove $m(D)$ è la misura (area) dell'insime $D,$ $\bar x$ è la coordinata $x$ del baricentro dell'insieme $D,$ definito da
\[ \bar x:=\frac{1}{m(D)} \iint_{D} x\,\,dx dy;\]
quindi si tratta di calcolare l'integrale
\[m(C)=2\pi\iint_{D} x\,\,dx dy.\]
fatto un bbreve schizzo del dominio,
[size=50][/size]
puoi impostare l'integrale così:
\begin{align}
m(C)&=2\pi\iint_{D} x\,\,dx dy=2\pi\int_{x=\left(\sqrt3/3\right)^{1/2} }^{\left(\sqrt3 \right)^{1/2}}\int_{y=1/x}^{\sqrt{4/\sqrt3-x^2}}x\,\,dx dy=2\pi\int_{x=\left(\sqrt3/3\right)^{1/2} }^{\left(\sqrt3 \right)^{1/2}}x\sqrt{4/\sqrt3-x^2}-1 \,\,dx\\
&=...=2\pi\left[-\frac{1}{3}\left(\frac{4}{\sqrt3}-x^2\right)^{3/2}-x\right]_{x=\left(\sqrt3/3\right)^{1/2} }^{\left(\sqrt3 \right)^{1/2}}=2\pi\frac{6\sqrt 3-10}{3^{7/4}}\sim 0.36.
\end{align}

[Noisemaker]

@ TeM : scusa, non ho visto che avevi risposto, stavo scrivebndo in contemporanea