SNS 2017 n.3
Qui nel forum anche se non titolato ho scovato il testo di un esercizio assegnato nell'anno 2017 nella prova si ammissione alla SNS, precisamente il numero 3.
Riporto il testo per comodità:
Siano $ d_1,....,d_n $ numeri reali positivi, con $ n≥2 $.
Si trovi una condizione necessaria e sufficiente, affinchè esista una successione $ p_0,....,p_n $ di punti del piano euclideo tali che:
Per ogni $ i=1,...,n, $ la distanza tra $p_i e p_(i−1) $ è di di;
$ p_n=p_0 $.
La soluzione proposta in un vecchio thread:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8338124
Mi chiedo se non vi sia una una strada meno "articolata" per la dimostrazione della condizione sufficiente, consultabile nello svolgimento proposto da .Ruben.
Intendo qualcosa che abbia a che fare con la geometria euclidea piana riguardante i poligoni...
Un saluto ed un grazie a tutti.
Riporto il testo per comodità:
Siano $ d_1,....,d_n $ numeri reali positivi, con $ n≥2 $.
Si trovi una condizione necessaria e sufficiente, affinchè esista una successione $ p_0,....,p_n $ di punti del piano euclideo tali che:
Per ogni $ i=1,...,n, $ la distanza tra $p_i e p_(i−1) $ è di di;
$ p_n=p_0 $.
La soluzione proposta in un vecchio thread:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8338124
Mi chiedo se non vi sia una una strada meno "articolata" per la dimostrazione della condizione sufficiente, consultabile nello svolgimento proposto da .Ruben.
Intendo qualcosa che abbia a che fare con la geometria euclidea piana riguardante i poligoni...
Un saluto ed un grazie a tutti.
Risposte
Siii... ok, credo che si possa trovare una strada meno articolata.
Non c'e' bisogno di tante formule.
La dimostrazione che metto qui sotto e' prolissa perche' ho giustificato praticamente tutti i passaggi, ma i concetti che stanno alla base sono abbastanza intuitivi.
Oserei dire che e' relativamente facile da capire in quanto discorsiva e poco densa di formule, ma rimango a disposizione per chiarimenti.
Di dimostrazioni piu' semplici, onestamente non me ne sono venute in mente.
Non c'e' bisogno di tante formule.
La dimostrazione che metto qui sotto e' prolissa perche' ho giustificato praticamente tutti i passaggi, ma i concetti che stanno alla base sono abbastanza intuitivi.
Oserei dire che e' relativamente facile da capire in quanto discorsiva e poco densa di formule, ma rimango a disposizione per chiarimenti.
Di dimostrazioni piu' semplici, onestamente non me ne sono venute in mente.
Perché hai scritto il messaggio in Analisi Matematica di Base?
Io comunque procederei così. Segno con \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert\) la distanza tra \(p_i\) e \(p_{i-1}\). Si ha ovviamente che \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert = \lVert \mathbf{p}_{i-1} - \mathbf{p}_{i} \rVert\). Geometricamente parlando, la notazione non è a caso, infatti \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert\) è effettivamente la norma del vettore \(\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1}\) dove \(\mathbf{p}_i\) è il vettore da \(\mathbf{0}\) all'\(i\)-esimo punto. Non intendo usare l'algebra lineare, uso questa notazione solo per evitare l'uso della \(d\) per la distanza.
Uso inoltre la seguente terminologia: dico che \((p_0, p_1, p_2, \dotsc, p_n)\) è soluzione del problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_n)\) se \(p_0 = p_n\) e \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert = d_i\) per ogni \(i\).
Il caso \(n = 2\) è banale: l'unica possibilità è che si abbia \(d_1 = d_2\). Infatti dalle ipotesi si ricava \( d_1 = \lVert \mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_{0} \rVert = \lVert \mathbf{p}_{0} - \mathbf{p}_{1} \rVert = \lVert \mathbf{p}_{2} - \mathbf{p}_{1} \rVert = d_2\). Per l'esistenza mi basta considerare \(p_0 = (0,0)\) e \(p_1 = (0, d_1)\). Suppongo che per l'esistenza si possano persino usare gli assiomi della geometria euclidea.
Il caso \(n=3\) non è molto diverso. Infatti, fissati due punti ad una certa distanza, il terzo punto deve essere necessariamente nell'intersezione di due circonferenze. Quindi la condizione necessaria e sufficiente è che le due circonferenze abbiano intersezione non nulla. Questo avviene se \(d_1 \le d_2 + d_3\) e similmente per le altre distanze. Quindi la condizione è \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\). Sommando per \(d_i\) da entrambi i lati e dividendo per due si ha la seguente forma: \(\forall i,\;d_i \le \frac12 \sum d_i\). È più compatta ma trovo sia più difficile da lavorarci.
Il resto lo dimostrerò per induzione e ovviamente devo dividere la dimostrazione in due.
Dimostriamo prima di tutto che la condizione è necessaria, ovvero che se esiste una soluzione \((p_0, p_1, p_2, \dotsc, p_n)\) del problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_n)\) allora si deve avere \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\). Supponiamo che valga per un certo \(N \ge 3\) e sia \(n = N+1\). Consideriamo quindi i primi 3 punti. Questi formano un triangolo, eventualmente degenere. Se \(d = \lVert \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_0 \rVert\), allora \((p_0, p_1, p_2)\) è soluzione del problema \((d_1, d_2, d)\) e \((p_0, p_2, \dotsc, p_n )\) è soluzione del problema \((d, d_3,\dotsc, d_n )\). Siccome \((d_1, d_2, d)\) è un problema di dimesione \(3\) e \((d, d_3,\dotsc, d_n )\) ha dimesione \(N\), entrambi soddisfano la condizione.
Si ricava quindi che \(d_1 \le d_2 + d \le d_2 + \sum_{i\ge 3} d_i = \sum_{i\ge 2} d_i\). Che \(d_2 \le d_1 + d \le d_1 + \sum_{i\ge 3} d_i = \sum_{i\neq 2} d_i\).
E che \( \forall i\ge 3,\;d_i \le d + \sum_{j\ge 3\wedge j \neq i} d_j \le d_1 + d_2 + \sum_{j\ge 3\wedge j \neq i} d_j = \sum_{j\neq i} d_j \). Quindi la condizione è necessaria per ogni \(N\).
Supponiamo che la condizione sia anche sufficiente per un certo \(N\ge 3\) ovvero che se \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\) allora il problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_N)\) ammette una qualche soluzione \((p_0, p_1, p_2, \dotsc, p_N)\). Consideriamo quindi il problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_n)\) e supponiamo che soddisfi \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\). Quello che voglio fare è di identificare un numero reale \(d\) e tre punti \(p_0, p_1, p_2\) tali che: [list=1][*:6ytl361r] \((p_0, p_1, p_2)\) è soluzione del problema \((d_1, d_2, d)\); [/*:m:6ytl361r][*:6ytl361r] \((d, d_3, \dotsc, d_n)\) soddisfa la condizione. [/*:m:6ytl361r][/list:o:6ytl361r]
Infatti, per ipotesi induttiva il problema \((d, d_3, \dotsc, d_n)\) avrà una soluzione e usando una trasformazione rigida mi è possibile fare in modo che i primi due punti della soluzione siano \(p_0\) e \(p_2\).
Il \(d\) che prendo è il massimo tra \(\lvert d_1 - d_2 \rvert\) e il massimo dei valori della forma \(d_i - \sum_{j\ge 3\wedge j \neq i} d_j\) per \(i\ge 3\). Questo massimo esiste perché tutti i valori sono più piccoli di \(d_1 + d_2\) (per via della condizione). L'esistenza di \(p_2\) deriva dalla considerazioni fatte sul caso \(n=3\).
È interessante osservare che questa dimostrazione proponga un effettivo algoritmo per calcolare una soluzione.
Io comunque procederei così. Segno con \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert\) la distanza tra \(p_i\) e \(p_{i-1}\). Si ha ovviamente che \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert = \lVert \mathbf{p}_{i-1} - \mathbf{p}_{i} \rVert\). Geometricamente parlando, la notazione non è a caso, infatti \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert\) è effettivamente la norma del vettore \(\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1}\) dove \(\mathbf{p}_i\) è il vettore da \(\mathbf{0}\) all'\(i\)-esimo punto. Non intendo usare l'algebra lineare, uso questa notazione solo per evitare l'uso della \(d\) per la distanza.
Uso inoltre la seguente terminologia: dico che \((p_0, p_1, p_2, \dotsc, p_n)\) è soluzione del problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_n)\) se \(p_0 = p_n\) e \(\lVert \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_{i-1} \rVert = d_i\) per ogni \(i\).
Il caso \(n = 2\) è banale: l'unica possibilità è che si abbia \(d_1 = d_2\). Infatti dalle ipotesi si ricava \( d_1 = \lVert \mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_{0} \rVert = \lVert \mathbf{p}_{0} - \mathbf{p}_{1} \rVert = \lVert \mathbf{p}_{2} - \mathbf{p}_{1} \rVert = d_2\). Per l'esistenza mi basta considerare \(p_0 = (0,0)\) e \(p_1 = (0, d_1)\). Suppongo che per l'esistenza si possano persino usare gli assiomi della geometria euclidea.
Il caso \(n=3\) non è molto diverso. Infatti, fissati due punti ad una certa distanza, il terzo punto deve essere necessariamente nell'intersezione di due circonferenze. Quindi la condizione necessaria e sufficiente è che le due circonferenze abbiano intersezione non nulla. Questo avviene se \(d_1 \le d_2 + d_3\) e similmente per le altre distanze. Quindi la condizione è \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\). Sommando per \(d_i\) da entrambi i lati e dividendo per due si ha la seguente forma: \(\forall i,\;d_i \le \frac12 \sum d_i\). È più compatta ma trovo sia più difficile da lavorarci.
Il resto lo dimostrerò per induzione e ovviamente devo dividere la dimostrazione in due.
Dimostriamo prima di tutto che la condizione è necessaria, ovvero che se esiste una soluzione \((p_0, p_1, p_2, \dotsc, p_n)\) del problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_n)\) allora si deve avere \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\). Supponiamo che valga per un certo \(N \ge 3\) e sia \(n = N+1\). Consideriamo quindi i primi 3 punti. Questi formano un triangolo, eventualmente degenere. Se \(d = \lVert \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_0 \rVert\), allora \((p_0, p_1, p_2)\) è soluzione del problema \((d_1, d_2, d)\) e \((p_0, p_2, \dotsc, p_n )\) è soluzione del problema \((d, d_3,\dotsc, d_n )\). Siccome \((d_1, d_2, d)\) è un problema di dimesione \(3\) e \((d, d_3,\dotsc, d_n )\) ha dimesione \(N\), entrambi soddisfano la condizione.
Si ricava quindi che \(d_1 \le d_2 + d \le d_2 + \sum_{i\ge 3} d_i = \sum_{i\ge 2} d_i\). Che \(d_2 \le d_1 + d \le d_1 + \sum_{i\ge 3} d_i = \sum_{i\neq 2} d_i\).
E che \( \forall i\ge 3,\;d_i \le d + \sum_{j\ge 3\wedge j \neq i} d_j \le d_1 + d_2 + \sum_{j\ge 3\wedge j \neq i} d_j = \sum_{j\neq i} d_j \). Quindi la condizione è necessaria per ogni \(N\).
Supponiamo che la condizione sia anche sufficiente per un certo \(N\ge 3\) ovvero che se \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\) allora il problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_N)\) ammette una qualche soluzione \((p_0, p_1, p_2, \dotsc, p_N)\). Consideriamo quindi il problema \((d_1, d_2, \dotsc, d_n)\) e supponiamo che soddisfi \(\forall i,\;d_i \le \sum_{j\neq i} d_j\). Quello che voglio fare è di identificare un numero reale \(d\) e tre punti \(p_0, p_1, p_2\) tali che: [list=1][*:6ytl361r] \((p_0, p_1, p_2)\) è soluzione del problema \((d_1, d_2, d)\); [/*:m:6ytl361r][*:6ytl361r] \((d, d_3, \dotsc, d_n)\) soddisfa la condizione. [/*:m:6ytl361r][/list:o:6ytl361r]
Infatti, per ipotesi induttiva il problema \((d, d_3, \dotsc, d_n)\) avrà una soluzione e usando una trasformazione rigida mi è possibile fare in modo che i primi due punti della soluzione siano \(p_0\) e \(p_2\).
Il \(d\) che prendo è il massimo tra \(\lvert d_1 - d_2 \rvert\) e il massimo dei valori della forma \(d_i - \sum_{j\ge 3\wedge j \neq i} d_j\) per \(i\ge 3\). Questo massimo esiste perché tutti i valori sono più piccoli di \(d_1 + d_2\) (per via della condizione). L'esistenza di \(p_2\) deriva dalla considerazioni fatte sul caso \(n=3\).
È interessante osservare che questa dimostrazione proponga un effettivo algoritmo per calcolare una soluzione.
Grazie a tutti per il prezioso aiuto/soluzione!
@vict85: non sapevo in quale sezione inserirla francamente.
Chiedo aiuto a qualche admin nel caso desiderasse migrare il post in una sezione più idonea e di più rapida accessibilità.
Grazie ancora!
@vict85: non sapevo in quale sezione inserirla francamente.
Chiedo aiuto a qualche admin nel caso desiderasse migrare il post in una sezione più idonea e di più rapida accessibilità.
Grazie ancora!