Sistemi lineari di equazioni differenziali del prim'ordine

[gianni971]

Buongiorno, avrei un piccolo dubbio. Se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare di equazioni differenziali del prim'ordine (in questo caso 2x2) avesse un unico autovalore regolare ma di molteplicità algebrica 2, come faccio a costruire la combinazione lineare che mi dà l'integrale generale del sistema?

[Studente Anonimo]

Dopo aver determinato due vettori $v_1$ e $v_2$ tali che:

Condizione 1 (autovettore)

$(A-\lambdaI)v_1=0$

Condizione 2 (autovettore generalizzato)

$(A-\lambdaI)v_2=v_1$

puoi ricavare il seguente integrale generale:

Integrale generale

$x(t)=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)$

$x_1(t)=v_1e^(\lambdat)$

$x_2(t)=(tv_1+v_2)e^(\lambdat)$

[gianni971]

Ciao scusa il ritardo con cui ti rispondo... Ma questo non è il procedimento da utilizzare in caso di autovalori irregolari? Io avevo chiesto il caso in cui l'autovalore sia unico, regolare e di molteplicità algebrica 2.

[Studente Anonimo]

Ho dato per scontato che fossi interessato al caso in cui la molteplicità geometrica dell'autovalore sia minore di quella algebrica (ciò che tu, presumibilmente, chiami autovalore irregolare). Soprattutto perché, se le due molteplicità sono uguali (ciò che tu, presumibilmente, chiami autovalore regolare), non si comprende quale sia il problema.