Sistemi lineari
Ciao
ho un esercizio sui sistemi lineari di cui non sono certo della risposta
Date le due equazioni $3x - y + z = 0$ e $x - 2y - 3z = 0$
Aggiungere una terza equazione in modo da ottenere un sistema con la sola soluzione nulla
Aggiungere una terza equazione in modo da ottenere un sistema con infinite soluzioni, è possibile ottenere $oo^2$ soluzioni ?
Per la seconda richiesta nessun problema
infatti basta aggiungere una combinazione lineare delle due per ottenere $oo$ soluzioni,
ma non è possibile ottenerne $oo^2$ perchè i due vettori sono linearmente indipendenti
il problema è la prima che ho risolto cosi
dovrei calcolare il rango di una matrice del genere $((3, -1, 1, 0), (1, -2, -3, 0), (a, b, c, d))$
la soluzione deve essere unica quindi questo deve valere 3 invece di ridurla però
ho pensato di calcolarne il determinante e imporre che sia $|A| != 0$ quindi $a + 2b - c != 0$
infine la soluzione deve essere quella nulla quindi per forza $d = 0$ e posso dare un esempio come questo $((3, -1, 1), (1, -2, -3), (0, 2, 0))$
io penso sia giusto però non so se va bene, mi chiedevo anche se posso scrivere
che la terza equazione perchè il sistema ammetta una sola soluzione deve appartenere a $a(1, 0, 0) + b(0, 2, 0) + c(0, 0, 1)$
cioè L((1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1)) oppure questa scrittura è utilizzata solamente per gli spazi vettoriali
e non posso usarla perchè questo non lo è ?
ho un esercizio sui sistemi lineari di cui non sono certo della risposta
Date le due equazioni $3x - y + z = 0$ e $x - 2y - 3z = 0$
Aggiungere una terza equazione in modo da ottenere un sistema con la sola soluzione nulla
Aggiungere una terza equazione in modo da ottenere un sistema con infinite soluzioni, è possibile ottenere $oo^2$ soluzioni ?
Per la seconda richiesta nessun problema
infatti basta aggiungere una combinazione lineare delle due per ottenere $oo$ soluzioni,
ma non è possibile ottenerne $oo^2$ perchè i due vettori sono linearmente indipendenti
il problema è la prima che ho risolto cosi
dovrei calcolare il rango di una matrice del genere $((3, -1, 1, 0), (1, -2, -3, 0), (a, b, c, d))$
la soluzione deve essere unica quindi questo deve valere 3 invece di ridurla però
ho pensato di calcolarne il determinante e imporre che sia $|A| != 0$ quindi $a + 2b - c != 0$
infine la soluzione deve essere quella nulla quindi per forza $d = 0$ e posso dare un esempio come questo $((3, -1, 1), (1, -2, -3), (0, 2, 0))$
io penso sia giusto però non so se va bene, mi chiedevo anche se posso scrivere
che la terza equazione perchè il sistema ammetta una sola soluzione deve appartenere a $a(1, 0, 0) + b(0, 2, 0) + c(0, 0, 1)$
cioè L((1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1)) oppure questa scrittura è utilizzata solamente per gli spazi vettoriali
e non posso usarla perchè questo non lo è ?
Risposte
Mi sembra corretta l'idea di imporre la condizione sul determinante (supponendo che con $A$ indichi la matrice incompleta del sistema, quella 3x3 per intenderci) e anche l'equazione particolare scelta va naturalmente bene:
$2y=0$ ovvero $y=0$
La notazione che proponi alla fine invece mi lascia un po' perplesso perché, come hai osservato tu, di solito la si usa per gli spazi vettoriali e non per le equazioni. Io non la utilizzerei, lo svolgimento precedente è già chiaro ed esaustivo.
Le conclusioni relative agli altri quesiti sono naturalmente corrette.
$2y=0$ ovvero $y=0$
La notazione che proponi alla fine invece mi lascia un po' perplesso perché, come hai osservato tu, di solito la si usa per gli spazi vettoriali e non per le equazioni. Io non la utilizzerei, lo svolgimento precedente è già chiaro ed esaustivo.
Le conclusioni relative agli altri quesiti sono naturalmente corrette.
Grazie, tutto chiaro
non ero sicuro sulla notazione, ho chiesto apposta e con A intendevo proprio la matrice incompleta
ciao
non ero sicuro sulla notazione, ho chiesto apposta e con A intendevo proprio la matrice incompleta
ciao
Ho trovato un altro esercizio simile e sto cercando conferma
Scrivere un sistema $Ax = b$ avente come insieme delle soluzioni $V:= (1, 0, 1, -1) + L((0, 0, 0, 1))$
La soluzione generale dovrebbe essere $(1, 0, 1, t - 1)$ con $t in RR$,
data la presenza di un solo parametro il sistema dovrebbe avere $oo^1$ soluzioni e quindi $4 - rk(A) = 1$
scelgo una qualsiasi $A = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0))$ prendo una qualsiasi soluzione,
ad esempio per $t = 0$ e mi basta eseguire il prodotto per ottenere $b$,
può andare bene cosi ?
Un'altra domanda, le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo sono linearmente dipendenti ?
Io penso di si perchè abbiamo quelle dipendenti del sistema lineare omogeneo associato più una traslazione
Scrivere un sistema $Ax = b$ avente come insieme delle soluzioni $V:= (1, 0, 1, -1) + L((0, 0, 0, 1))$
La soluzione generale dovrebbe essere $(1, 0, 1, t - 1)$ con $t in RR$,
data la presenza di un solo parametro il sistema dovrebbe avere $oo^1$ soluzioni e quindi $4 - rk(A) = 1$
scelgo una qualsiasi $A = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0))$ prendo una qualsiasi soluzione,
ad esempio per $t = 0$ e mi basta eseguire il prodotto per ottenere $b$,
può andare bene cosi ?
Un'altra domanda, le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo sono linearmente dipendenti ?
Io penso di si perchè abbiamo quelle dipendenti del sistema lineare omogeneo associato più una traslazione
"bestplace":
Ho trovato un altro esercizio simile e sto cercando conferma
Scrivere un sistema $Ax = b$ avente come insieme delle soluzioni $V:= (1, 0, 1, -1) + L((0, 0, 0, 1))$
La soluzione generale dovrebbe essere $(1, 0, 1, t - 1)$ con $t in RR$,
data la presenza di un solo parametro il sistema dovrebbe avere $oo^1$ soluzioni e quindi $4 - rk(A) = 1$
scelgo una qualsiasi $A = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0))$ prendo una qualsiasi soluzione,
ad esempio per $t = 0$ e mi basta eseguire il prodotto per ottenere $b$,
può andare bene cosi ?
Il ragionamento sembra corretto, dovrebbe andar bene.
"bestplace":
Un'altra domanda, le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo sono linearmente dipendenti ?
Io penso di si perchè abbiamo quelle dipendenti del sistema lineare omogeneo associato più una traslazione
Secondo me NON sono linearmente dipendenti. Ad esmpio nel caso in cui hai $oo^1$ soluzioni del tipu $u+L(v)$ due generiche soluzioni $s_1$ e $s_2$ possono essere scritte come
$s_1=u+alphav$
$s_2=u+betav$
e sarebbero linearmente dipendenti se esistesse un $omega$ tale che
$s_2=omegas_1$
ovvero
$u+betav=omegau+omegaalphav$
e questa condizione non è soddisfatta da nessun valore di $omega$.
A parte questo, tieni comunque presente che le soluzioni di un sistema non omogeneo, quando sono infinite, non generano uno spazio vettoriale ma una varietà lineare, perciò il concetto di dipendenza lineare viene a perdere di significatività (anche se non di significato).
Dato che non costituiscono uno spazio vettoriale, la domanda era senza senso
comunque adesso ho capito perchè l'insieme delle soluzioni viene sritto come $u + L(v)$,
non avevo mai sentito parlare di varietà lineare, grazie di nuovo
ciao
comunque adesso ho capito perchè l'insieme delle soluzioni viene sritto come $u + L(v)$,
non avevo mai sentito parlare di varietà lineare, grazie di nuovo
ciao
Di niente.
Buono studio.
Buono studio.
Cosa si può dire del rango di una matrice prodotto rispetto a quello delle due,
ad esempio se ho una matrice $A in RR^(3, 3)$ e una matrice $B in RR^(3, 4)$
cosa posso dire del rango di $AB$ se so che il rango di $A$ è 2 ?, cioè come posso escludere che il rango di $B$ sia 1 ?
ad esempio se ho una matrice $A in RR^(3, 3)$ e una matrice $B in RR^(3, 4)$
cosa posso dire del rango di $AB$ se so che il rango di $A$ è 2 ?, cioè come posso escludere che il rango di $B$ sia 1 ?
"bestplace":
Cosa si può dire del rango di una matrice prodotto rispetto a quello delle due,
ad esempio se ho una matrice $A in RR^(3, 3)$ e una matrice $B in RR^(3, 4)$
cosa posso dire del rango di $AB$ se so che il rango di $A$ è 2 ?, cioè come posso escludere che il rango di $B$ sia 1 ?
Purtroppo questa domanda oltrepassa le mie limitate conoscenze di algebra lineare
...non so sinceramente se ci sia una regola o un insieme di regole che consentono di fare previsioni sul rango di una matrice prodotto a partire dalla conoscenza del rango delle matrici utilizzate come fattori. L'unica cosa che so, ma che molto probabilmente sai benissimo anche tu, è che se una delle due matrici ha determinante 0, ovvero non ha rango pieno, anche la risultante ha determinante 0.Mi spiace...
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Grazie lo stesso,
tra l'altro credo di essermi spiegato male
comunque io avevo dimenticato che date due matrici $A$ e $B$, $rk(AB) <= min(rk(A), rk(B))$
tra l'altro credo di essermi spiegato male
comunque io avevo dimenticato che date due matrici $A$ e $B$, $rk(AB) <= min(rk(A), rk(B))$
"bestplace":
comunque io avevo dimenticato che date due matrici $A$ e $B$, $rk(AB) <= min(rk(A), rk(B))$
Grazie a te ora ho imparato una cosa nuova...
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