Sistemi Dinamici esercizio compito che non so svolgere...
Ciao a tutti...questo è l'esercizio che mi è stato dato al compito e che ho provato a risolvere...Se qualcuno può darmi una mano a capire come operare in questi casi gliene sarei molto grato...Grazie anticipatamente a tutti comunque...
Assegnata l'equazione differenziale
y"'(x)-y"(x)= e^2x-x^2
1)Determinare l'integrale generale;
2)Dimostrare che per il problema di Cauchy associato all'equazione vale il teorema di esistenza ed unicità;
3)Fornire un esempio di problema di Cauchy associato all'equazione e determinare la soluzione.
Io ho fatto così:
1) ho cercato di risolvere l'integrale dell'omogenea associiata, ovvero y"'(x)-y"(x)=0 attraverso l'equazione caratteristica che mi dava una radice doppia(=0) e una radice singolare(=1); poi ho provato a risolvere y"'(x)-y"(x)= e^2x e poi ho provato a risolvere y"'(x)-y"(x)=-x^2. Alla fine ho sommato tutte e tre le soluzioni ottenendo l'integrale generale. Che ne dite?...Qualcuno mi può dire a lui quanto viene?...Grazie a tutti!!
Assegnata l'equazione differenziale
y"'(x)-y"(x)= e^2x-x^2
1)Determinare l'integrale generale;
2)Dimostrare che per il problema di Cauchy associato all'equazione vale il teorema di esistenza ed unicità;
3)Fornire un esempio di problema di Cauchy associato all'equazione e determinare la soluzione.
Io ho fatto così:
1) ho cercato di risolvere l'integrale dell'omogenea associiata, ovvero y"'(x)-y"(x)=0 attraverso l'equazione caratteristica che mi dava una radice doppia(=0) e una radice singolare(=1); poi ho provato a risolvere y"'(x)-y"(x)= e^2x e poi ho provato a risolvere y"'(x)-y"(x)=-x^2. Alla fine ho sommato tutte e tre le soluzioni ottenendo l'integrale generale. Che ne dite?...Qualcuno mi può dire a lui quanto viene?...Grazie a tutti!!
Risposte
quale eq caratteristica?
comunque c'è un semplice trucco per capire se hai fatto bene: prendi la sol $y(x)$ che hai trovato, calcoli $y'''-y''$ e vedi che ti viene fuori.
comunque c'è un semplice trucco per capire se hai fatto bene: prendi la sol $y(x)$ che hai trovato, calcoli $y'''-y''$ e vedi che ti viene fuori.
La 2 e la 3 sono banali in quanto:
2) Un problema di Cauchy per l'equazione differenziale in questione (data una qualunque condizione iniziale $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_1$, $y''(x_0)=y_2$$$), essendo questa equazione lineare, ammette una e solo una soluzione.
3) Nota la soluzione generale dell'equazione differenziale ottenuta nella 1, si impone la condizione iniziale e si trova la soluzione (unica) del problema di Cauchy.
2) Un problema di Cauchy per l'equazione differenziale in questione (data una qualunque condizione iniziale $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_1$, $y''(x_0)=y_2$$$), essendo questa equazione lineare, ammette una e solo una soluzione.
3) Nota la soluzione generale dell'equazione differenziale ottenuta nella 1, si impone la condizione iniziale e si trova la soluzione (unica) del problema di Cauchy.
1) L'equazione:
$y'''(x)-y''(x)= e^(2x)-x^2 $
è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea di ordine 3.
L'equazione omogenea associata è:
$y'''(x)-y''(x)= 0 $.
L'equazione caratteristica associata allora è:
$lambda^3-lambda^2=0$
che ha come zeri $lambda=0$ con molteplicità 2 e $lambda=1$ con molteplicità 1.
Di conseguenza la soluzione generale dell'equazione omogenea è:
$y(x)=c_1+c_2x+c_3 e^x$, $c_1, c_2, c_3 in RR$.
Per trovare la soluzione generale dell'equazione non omogenea resta da trovare una soluzione particolare della non omogenea stessa.
Una soluzione particolare che ho trovato è:
$y(x)=1/4 e^(2x)+ 1/12 x^4 + 1/3 x^3 + x^2$.
(Se ne possono trovare benissimo altre, anzi infinite, e non escludo che ce ne possano essere altre molto più semplici!).
Quindi, in definitiva, la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare non omogenea si può scrivere come somma dell'equazione generale dell'omogenea associata e di una soluzione particolare della non omogenea stessa:
$y(x)=c_1+c_2x+c_3 e^x + 1/4 e^(2x)+ 1/12 x^4 + 1/3 x^3 + x^2$, $c_1, c_2, c_3 in RR$.
Fine. Ciao.
$y'''(x)-y''(x)= e^(2x)-x^2 $
è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea di ordine 3.
L'equazione omogenea associata è:
$y'''(x)-y''(x)= 0 $.
L'equazione caratteristica associata allora è:
$lambda^3-lambda^2=0$
che ha come zeri $lambda=0$ con molteplicità 2 e $lambda=1$ con molteplicità 1.
Di conseguenza la soluzione generale dell'equazione omogenea è:
$y(x)=c_1+c_2x+c_3 e^x$, $c_1, c_2, c_3 in RR$.
Per trovare la soluzione generale dell'equazione non omogenea resta da trovare una soluzione particolare della non omogenea stessa.
Una soluzione particolare che ho trovato è:
$y(x)=1/4 e^(2x)+ 1/12 x^4 + 1/3 x^3 + x^2$.
(Se ne possono trovare benissimo altre, anzi infinite, e non escludo che ce ne possano essere altre molto più semplici!).
Quindi, in definitiva, la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare non omogenea si può scrivere come somma dell'equazione generale dell'omogenea associata e di una soluzione particolare della non omogenea stessa:
$y(x)=c_1+c_2x+c_3 e^x + 1/4 e^(2x)+ 1/12 x^4 + 1/3 x^3 + x^2$, $c_1, c_2, c_3 in RR$.
Fine. Ciao.
Grazie Amel... 
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