Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine

[Aletzunny1]

ciao a tutti, qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi come si trasforma la seguente equazione differenziali lineare di ordine $n$ in un sistema del primo ordine del tipo $y'=f(x,y)$

non ho davvero capito il ragionamento su come bisogna procedere e il testo che sto seguendo non mette la trasformazione

sia $L$ un operatore lineare
$Ly=y^n + a_(n-1)(x)y^(n-1)+...+a_0(x)y=0$ dove

$a_(0)(x),a_1(x),...,a_(n-1)(x):[a,b]->RR$ continue

inoltre viene sempre detto che: "è chiaro che $Ly=0$ resa in $y'=f(x,y)$ è lipschitziana in $y$ uniformemente in $x$ " ma non ho assolutamente compreso il perchè sia cosi chiaro e possibile.

grazie a chi mi aiuterà.

[anto_zoolander]

Guardavo questo problema ieri, però non avevi specificato la continuità delle $a_k$ e sopratutto che fossero in un compatto.

comunque considera la funzione $f(x,vec(y))=<>$ dove $a(x)=(a_1(x),...,a_n(x))$ e al più $a_n(x)=1$

allora $abs(f(x,y)-f(x,z))=abs( <>)leqnorm(a(x))*norm(y-z)leqL norm(y-z)$ dove $L=max_(x in [a,b]) norm(a(x))$

dall'altro lato hai $abs(f(x,y))=abs(<>)leqnorm(a(x))norm(y)$

la prima dice che è Lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto a $x$
la seconda dice che $f$ è sublineare

quindi per ogni condizione iniziale la $f$ ammette una sola soluzione in $[a,b]$

edit: non sono certo di aver risposto a quello che hai chiesto, appena torno a casa sistemo la cosa(se non dovessero avere risposto)

[anto_zoolander]

in genere una equazione di quel tipo è riconducibile ad un sistema del tipo

$star$ ${(dot(y)_1=f_1(x,y_1,...,y_n)),(dot(y)_2=f_2(x,y_1,...,y_n)),(...),(dot(y)_n=f_n(x,y_1,...,y_n)):}$

che viene espresso tramite la funzione $F=(f_1,...,f_n)$
è chiaro che se tutte le $f_k$ sono sublineari e lipschitziane in $y$ uniformemente in $x$ allora lo sarà anche $F$ in quanto

1)

[size=95]$norm(F(x,y)-F(x,z))=sqrt(sum_(k=1)^(n)(f_k(x,y)-f_k(x,z))^2)leqabs(f_k(x,y)-f_k(x,z))leqnorm(y-z)underbrace(sum_(k=1)^(n)L_k)_( :=L)$[/size]

2)

$norm(F(x,y))leqsum_(k=1)^(n)abs(f_k(x,y))leqsum_(k=1)^(n)(A_k(x)+B_k(x)norm(y))$

questa si può scrivere come $A(x)+B(x)norm(y)$

sulla base di questo è importante trasformare $y^((n))(x) =sum_(k=1)^(n-1)a_k(x)y^((k))(x) $
in quella forma

l'idea è quella di introdurre nuove funzioni con $z_k=y^((k-1)), k=1,...,n$
va da se che $dot(z)_k=y^((k))=z_(k+1)$ e $dot(z)_n=y^((n))=f(x,z_1,z_2,...,z_n)$
ottieni adesso il sistema

${(dot(z)_1=z_2),(dot(z)_2=z_3),(...),(dot(z)_(n-1)=z_n),(dot(z)_n=f(x,z_1,z_2,...,z_n)):}$

se noti questo sistema è scritto nella forma $star$, ovvero

$dot(z) =F(x,z)$

noti subito come la sublinearità e la lipschitzianità sono verificate per $F$ esattamente quando sono verificate per $f$: le prime $n-1$, definite come $f_k=z_(k+1),k=1,...,n-1$, verificano banalmente le due condizioni e quindi il tutto dipende soltanto da $f$, la quale si dimostra possedere entrambe le proprietà proprio per il post sopra.

[Aletzunny1]

Grazie mille! Tutto chiaro