Sistemi di Equazioni differenziali
Ciao ragazzi...
Mi sono imbattuto in un problema a cui onestamente non sono in grado di dare una risposta esauriente. Eccolo:
Sia dato il seguente sistema di equazioni differenziali in $R^2$:
\(\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x_1}=\alpha\\ \dot{x_2}=\beta
\end{cases}
\end{equation}\) \(\hspace{1cm }\) con $\alpha$ e $\beta$ \(\in \) $R$.
a) Determinare la traiettoria e gli eventuali punti fissi.
b) Studiare lo stesso sistema su un toro $T^2$ = \( \{(x,y) : 0\le x_1\le 2\pi, o\le x_2 \le 2\pi\} \).
c) Cosa succede in quest'ultimo caso qualora \( \frac{\beta}{\alpha} \) è irrazionale?
Grazie a chiunque possa essermi di aiuto
Mi sono imbattuto in un problema a cui onestamente non sono in grado di dare una risposta esauriente. Eccolo:
Sia dato il seguente sistema di equazioni differenziali in $R^2$:
\(\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x_1}=\alpha\\ \dot{x_2}=\beta
\end{cases}
\end{equation}\) \(\hspace{1cm }\) con $\alpha$ e $\beta$ \(\in \) $R$.
a) Determinare la traiettoria e gli eventuali punti fissi.
b) Studiare lo stesso sistema su un toro $T^2$ = \( \{(x,y) : 0\le x_1\le 2\pi, o\le x_2 \le 2\pi\} \).
c) Cosa succede in quest'ultimo caso qualora \( \frac{\beta}{\alpha} \) è irrazionale?
Grazie a chiunque possa essermi di aiuto
Risposte
Sembra che tu non abbia dato alcuna risposta...
Appunto. Perché non ho la minima idea di cosa chieda la traccia in realtà.
Ovviamente risolvere le due equazioni differenziali è semplice: quindi ora mi limito almeno a rispondere alla prima parte della domanda (a):
\(\dot{x_1}=\alpha \Rightarrow x_1=\alpha t+C_1\).
Allo stesso modo:
\(\dot{x_2}=\beta \Rightarrow x_2=\beta t+C_2\).
Possiamo quindi calcolare il tempo $t$ dalla prima equazione ad esempio (o dalla seconda) e per sostituzione si avrà che:
\(x_2=\beta\frac{x_1-C_1}{\alpha}+C_2\).
Questa dovrebbe essere la traiettoria credo. Ma i punti fissi? E le domande (b) e (c)?
Se mi puoi aiutare sarebbe fantastico
Ovviamente risolvere le due equazioni differenziali è semplice: quindi ora mi limito almeno a rispondere alla prima parte della domanda (a):
\(\dot{x_1}=\alpha \Rightarrow x_1=\alpha t+C_1\).
Allo stesso modo:
\(\dot{x_2}=\beta \Rightarrow x_2=\beta t+C_2\).
Possiamo quindi calcolare il tempo $t$ dalla prima equazione ad esempio (o dalla seconda) e per sostituzione si avrà che:
\(x_2=\beta\frac{x_1-C_1}{\alpha}+C_2\).
Questa dovrebbe essere la traiettoria credo. Ma i punti fissi? E le domande (b) e (c)?
Se mi puoi aiutare sarebbe fantastico
I punti fissi sono caratterizzati dal fatto che... ?
Per il punto b): premesso che manca una condizione di periodicità per fare un vero toro, prova a fare qualcosa. [Tu lo sai cos'è un toro, vero?]
Per il punto c): dopo b) dovrebbe essere chiaro.
Per il punto b): premesso che manca una condizione di periodicità per fare un vero toro, prova a fare qualcosa. [Tu lo sai cos'è un toro, vero?]
Per il punto c): dopo b) dovrebbe essere chiaro.
Credo che i punti fissi siano caratterizzati dal fatto che f(x)=x. Quindi dovrei risolvere una semplice equazione dove l'incognita è $x_1$?
Altra cosa: so cosa è un toro in matematica. E' una figura geometrica che ha praticamente la forma di una ciambella: pero' oltre questo non ho mai avuto a che fare con i tori. Del resto non ho una laurea in matematica ma in Fisica, e a parte il solenoide toroidale (in Fisica 2), in matematica non l'ho mai approfondito più' di tanto. Forse posso cercare di utilizzare una rappresentazione parametrica del toro(?) I don't Know
Questa è una traccia di un concorso, meglio specificarlo: non è per nessun esame in particolare. Capire la risoluzione di questo genere di esercizi potrebbe aiutarmi perché su internet non ho trovato molto riguardo questo argomento. Quindi, ancora una volta, ti chiederei se puoi essere cosi' gentile da darmi altri indicazioni riguardo questo problema
Altra cosa: so cosa è un toro in matematica. E' una figura geometrica che ha praticamente la forma di una ciambella: pero' oltre questo non ho mai avuto a che fare con i tori. Del resto non ho una laurea in matematica ma in Fisica, e a parte il solenoide toroidale (in Fisica 2), in matematica non l'ho mai approfondito più' di tanto. Forse posso cercare di utilizzare una rappresentazione parametrica del toro(?) I don't Know
Questa è una traccia di un concorso, meglio specificarlo: non è per nessun esame in particolare. Capire la risoluzione di questo genere di esercizi potrebbe aiutarmi perché su internet non ho trovato molto riguardo questo argomento. Quindi, ancora una volta, ti chiederei se puoi essere cosi' gentile da darmi altri indicazioni riguardo questo problema
Un punto fisso è un punto in cui tutte le derivate si annullano! Per questo si chiama "fisso", perché le \(x\), una volta lì, non si muovono più.
Il toro che dici tu è il toro in questione, sì. Un toro è, matematicamente, un prodotto cartesiano di circonferenze, cioè un insieme definito da due variabili \(x,y\) che rispettano i vincoli \(0 < x< 2 \pi, 0la stessa retta, e ugualmente per le rette \(y = 0\) e \(y = 2\pi\). Siccome queste coppie identificano la stessa retta, quando arrivi in fondo da una parte magicamente sbuchi dall'altra [come nel gioco Pacman].
Il toro che dici tu è il toro in questione, sì. Un toro è, matematicamente, un prodotto cartesiano di circonferenze, cioè un insieme definito da due variabili \(x,y\) che rispettano i vincoli \(0 < x< 2 \pi, 0
Ti ringrazio Penso di averci capito qualcosa in più riguardo il 'toro' e posso ora cercare un tentativo di risoluzione. Dopo di che, supponendo che $\beta/\alpha$ sia irrazionale dovrebbe essere una logica conseguenza del risultato(?), forse...
Per quanto riguardo i punti fissi, avevo trovato che essi sono quei punti per cui f(x)=x, però mi fido di te e quindi basta imporre in pratica che le due derivate siano uguali a 0, il che rende la risoluzione davvero semplice.
Penso di averci capito qualcosa in più riguardo il 'toro' e posso ora cercare un tentativo di risoluzione. Dopo di che, supponendo che $\beta/\alpha$ sia irrazionale dovrebbe essere una logica conseguenza del risultato(?), forse... Per quanto riguardo i punti fissi, avevo trovato che essi sono quei punti per cui f(x)=x, però mi fido di te e quindi basta imporre in pratica che le due derivate siano uguali a 0, il che rende la risoluzione davvero semplice.
Il punto del toro è che siccome uscendo da un lato rientri dall'altro, allora in linea di principio può capitare che il punto da cui rientri è un punto da cui la traiettoria è già passata in passato. In tal caso si avrà che l'intera traiettoria è periodica perché ritorna su se stessa.
Evidentemente il fatto che questo accada è legato a doppio filo alle pendenze delle rette, e ad occhio direi che verrà fuori che non è possibile rientrare nell'orbita se quei due numeri non sono commensurabili.
La definizione di punto fisso varia da contesto a contesto. Si chiama punto fisso di una funzione \(f(x)\) un valore \(x\) che soddisfa \(f(x)=x\). Questa è la definizione che compare nel teorema delle contrazioni.
Si chiama punto fisso di un sistema dinamico un valore delle variabili di stato che ne annulla la derivata.
Evidentemente il fatto che questo accada è legato a doppio filo alle pendenze delle rette, e ad occhio direi che verrà fuori che non è possibile rientrare nell'orbita se quei due numeri non sono commensurabili.
La definizione di punto fisso varia da contesto a contesto. Si chiama punto fisso di una funzione \(f(x)\) un valore \(x\) che soddisfa \(f(x)=x\). Questa è la definizione che compare nel teorema delle contrazioni.
Si chiama punto fisso di un sistema dinamico un valore delle variabili di stato che ne annulla la derivata.
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