Sistemi di equazioni differenziali

[Piccy1]

Buongiorno a tutti, volevo chiedere chiarimenti su come trattare i sistemi di equazioni differenziali, mi sono ritrovata con questo esercizio e non so neanche come iniziare
Il sistema è il seguente
\begin{cases} \dot{y}(x)=y(x)z(x) \\ \dot{z}(x)=z(x)+1 \end{cases}

Ho provato a sostituire l'equazione sotto con quella sopra trovandomi z(x) in funzione di z'(x), ma non credo si possa fare o comunque non si semplificava in nessuna maniera

Mi scuso se ho sbagliato qualcosa ma non sono molto pratica Grazie

[Carla1992]

Secondo me puoi procedere così :

La seconda equazione è lineare del primo ordine non omogenea , quindi dovresti saperla risolvere con il solito metodo.
Una volta risolta quella sostituisci la funzione trovata nella prima equazione, che dovrebbe essere risolubile, quindi, per separazione di variabili.
Prova un po'

[Piccy1]

ah ok grazie mille:) credevo di doverle risolvere contemporaneamente utilizzando gli autovalori

[Piccy1]

Ciao, l'ho svolto e mettendo a sistema le soluzioni ottenute ottengo
y(x)=e^[e^(x+c)]-e^x +c
z(x)=e^(x+c)-1

ora il testo mi dice di Determinare tutte le soluzioni del sistema tali che z(0)=2 e y(0)=0, devo semplicemente sostituire 0 alle x, 2 alla z e 0 alla y e analizzarle normalmente come se fossero due problemi di Cauchy separati?

[Carla1992]

Fai attenzione al fatto che quelle c che hai scritto non sono tutte la stessa cosa. Cioè dovrebbero esserci due costanti di integrazione.
Sostituisci 0 a x , 2 a z , 0 a y e risolvi il sistema che ne risulta ( le tue incognite saranno le 2 costanti di integrazione).
Spero di essere stata chiara, prova e poi mi dici