Sistemi di equazioni autonome
Buonasera, ho un dubbio su un caso specifico che riguarda lo studio dei sistemi autonomi.
Se gli autvalori risultano reali e coincidenti la soluzione generale del sistema è $varphi(t)=vec(c_1)e^(lambdat)+tvec(c_2)e^(lambdat)$. Dal libro viene semplicemente detto che $vec(c_1), vec(c_2)$ sono vettori "opportuni", dipendenti da due sole costanti arbitrarie, ma non spiega come trovarli. Mi sono posto il dubbio che si tratti di autovettore uno e autovettore generalizzato due, come per i sistemi di equazioni differenziali, ma non ne sono per nulla sicuro.
Grazie
Se gli autvalori risultano reali e coincidenti la soluzione generale del sistema è $varphi(t)=vec(c_1)e^(lambdat)+tvec(c_2)e^(lambdat)$. Dal libro viene semplicemente detto che $vec(c_1), vec(c_2)$ sono vettori "opportuni", dipendenti da due sole costanti arbitrarie, ma non spiega come trovarli. Mi sono posto il dubbio che si tratti di autovettore uno e autovettore generalizzato due, come per i sistemi di equazioni differenziali, ma non ne sono per nulla sicuro.
Grazie
Risposte
La formula che riporti vale, mi pare, se la matrice del sistema (diciamo $A$) ha forma canonica di Jordan
\[J=\begin{pmatrix}
\lambda & 1\\
0& \lambda
\end{pmatrix},
\]
(cioè se $A$, oltre ad avere autovalori "reali e coincidenti", non è diagonalizzabile). Provo a darti un'idea di come ricavarla.
La (unica) soluzione di $x'=Ax$ tale che $\varphi(0)=x_0\in RR^2$ è data da
\[\varphi(t)=e^{At}x_0\]
Inoltre sappiamo $A$ è simile alla sua forma canonica, cioè esiste una matrice invertibile $C$ tale che
\[A=CJC^{-1};\]
la matrice $C$ ha per colonne due vettori $v_1$, $v_2$ tali che $Av_1=\lambda v_1$ e $Av_2=v_1+\lambda v_2$.
Da qui dimostri che
\[e^{At}x_0=Ce^{Jt}C^{-1}x_0.\]
Se ora poni $a=C^{-1}x_0$, $a=(a_1,a_2)\in RR^2$, e scrivi $J=\lambda I_2+N$, hai
\[\varphi(t)=Ce^{Jt}a=Ce^{\lambda I_2 t+Nt}a=Ce^{\lambda t}e^{Nt}a=Ce^{\lambda t}(I_2+Nt)a\\
=e^{\lambda t}C
\begin{pmatrix}
1& t\\
0& 1
\end{pmatrix}
a=
e^{\lambda t}C
\begin{pmatrix}
a_1+ta_2\\
a_2
\end{pmatrix}=
e^{\lambda t}(v_1|v_2)
\begin{pmatrix}
a_1+ta_2\\
a_2
\end{pmatrix}\\
=e^{\lambda t}((a_1+ta_2)v_1+a_2v_2)
\]
che corrisponde alla formula che riporti tu se definisci $c_1=a_1v_1+a_2v_2$ e $c_2=a_2v_1$.
Non so quanta dimestichezza tu abbia con le matrici esponenziali, per cui se qualquadra non ti cosa, chiedi pure
\[J=\begin{pmatrix}
\lambda & 1\\
0& \lambda
\end{pmatrix},
\]
(cioè se $A$, oltre ad avere autovalori "reali e coincidenti", non è diagonalizzabile). Provo a darti un'idea di come ricavarla.
La (unica) soluzione di $x'=Ax$ tale che $\varphi(0)=x_0\in RR^2$ è data da
\[\varphi(t)=e^{At}x_0\]
Inoltre sappiamo $A$ è simile alla sua forma canonica, cioè esiste una matrice invertibile $C$ tale che
\[A=CJC^{-1};\]
la matrice $C$ ha per colonne due vettori $v_1$, $v_2$ tali che $Av_1=\lambda v_1$ e $Av_2=v_1+\lambda v_2$.
Da qui dimostri che
\[e^{At}x_0=Ce^{Jt}C^{-1}x_0.\]
Se ora poni $a=C^{-1}x_0$, $a=(a_1,a_2)\in RR^2$, e scrivi $J=\lambda I_2+N$, hai
\[\varphi(t)=Ce^{Jt}a=Ce^{\lambda I_2 t+Nt}a=Ce^{\lambda t}e^{Nt}a=Ce^{\lambda t}(I_2+Nt)a\\
=e^{\lambda t}C
\begin{pmatrix}
1& t\\
0& 1
\end{pmatrix}
a=
e^{\lambda t}C
\begin{pmatrix}
a_1+ta_2\\
a_2
\end{pmatrix}=
e^{\lambda t}(v_1|v_2)
\begin{pmatrix}
a_1+ta_2\\
a_2
\end{pmatrix}\\
=e^{\lambda t}((a_1+ta_2)v_1+a_2v_2)
\]
che corrisponde alla formula che riporti tu se definisci $c_1=a_1v_1+a_2v_2$ e $c_2=a_2v_1$.
Non so quanta dimestichezza tu abbia con le matrici esponenziali, per cui se qualquadra non ti cosa, chiedi pure
Dunque, in primo luogo grazie mille per la risposta. Per la prima parte tutto chiaro, ma delle matrici esponenziali purtroppo non so molto quindi ho progressivamente perso il filo, anche se mi sono ritrovato in alcuni punti. Ora, ho trovato su un altro libro una spiegazione molto succinta che però richiama certi tuoi passaggi, vorrei capire se sono impliciti o se è una semplificazione. Per comodità la applico a un esempio semplice:
$ { ( x'=y ),( y'=-x+2y ):} $
da cui $lambda_1=lambda_2=1$
Il libro spiega l'esempio così (senza però risovlerlo): autovalori reali e coincidenti, dunque la soluzione è $varphi(t)=vec(c_1)e^(lambdat)+vec(c_2)te^(lambdat)$ (non riporta il discorso sulla forma canonica di Jordan)
Se ora inserisco $varphi(t)$ in $varphi'=Avarphi$ ottengo $lambdavec(c_1)e^(lambdat)+vec(c_2)(1+lambdat)e^(lambdat)=Avec(c_1)e^(lambdat)+Avec(c_2)te^(lambdat)$, e uguagliando i coefficienti dei termini corrispondenti ho il sistema:
${ ( Avec(c_1)=lambdavec(c_1)+vec(c_2) ),( Avec(c_2)=lambdavec(c_2) ):}$ che è il sistema che hai scritto anche tu. Ora, da qui in avanti però non so come procedere. Il libro dice semplicemente di "risolverlo in $c_1, c_2$, ma cosa significa, esattamente? Mi rendo conto che è la seconda parte della tua risposta, quella che faccio più fatica a seguire, ma allo stesso tempo dubito che possano esserci tutti questi sottintesi nella versione che sto leggendo... spero di essere chiaro.
Ancora grazie!
$ { ( x'=y ),( y'=-x+2y ):} $
da cui $lambda_1=lambda_2=1$
Il libro spiega l'esempio così (senza però risovlerlo): autovalori reali e coincidenti, dunque la soluzione è $varphi(t)=vec(c_1)e^(lambdat)+vec(c_2)te^(lambdat)$ (non riporta il discorso sulla forma canonica di Jordan)
Se ora inserisco $varphi(t)$ in $varphi'=Avarphi$ ottengo $lambdavec(c_1)e^(lambdat)+vec(c_2)(1+lambdat)e^(lambdat)=Avec(c_1)e^(lambdat)+Avec(c_2)te^(lambdat)$, e uguagliando i coefficienti dei termini corrispondenti ho il sistema:
${ ( Avec(c_1)=lambdavec(c_1)+vec(c_2) ),( Avec(c_2)=lambdavec(c_2) ):}$ che è il sistema che hai scritto anche tu. Ora, da qui in avanti però non so come procedere. Il libro dice semplicemente di "risolverlo in $c_1, c_2$, ma cosa significa, esattamente? Mi rendo conto che è la seconda parte della tua risposta, quella che faccio più fatica a seguire, ma allo stesso tempo dubito che possano esserci tutti questi sottintesi nella versione che sto leggendo... spero di essere chiaro.
Ancora grazie!
Se non hai fatto le matrici esponenziali e la forma di Jordan, capisco bene che ciò che ho scritto non sia chiaro (tra l'altro ho commesso un errore nei calcoli, sostituendo $C$ con $C^{-1}$ 
i concetti rimangono quelli).
Mi pare di capire che il tuo libro faccia grossomodo un ragionamento del genere:
• prova a cercare soluzioni dell'equazione $x'=Ax$ del tipo che hai scritto tu;
• noti che $\varphi$ è soluzione se e solo se $c_1$ è un autovettore di $A$ e $c_2$ è un autovettore generalizzato di $A$ (fin qui è ciò che hai scritto tu);
• di conseguenza, esistono soluzioni di quel tipo di $x'=Ax$ se e solo se $A$ ammette un autovettore e un autovettore generalizzato;
• dato che la tua $A$ ammette un autovettore e un autovettore generalizzato, riesci a trovare tante (infinite) soluzioni del sistema al variare dei vettori $c_1$, $c_2$ [nota]Nota che $c_1$ e $c_2$ sono legati tra solo da una certa relazione lineare, per cui i parametri liberi saranno in numero minore delle $4$ coordinate di $c_1,c_2$. Precisamente: $c_2$ sta nell'autospazio relativo a $\lambda$, mentre $c_1$ sta nell'autospazio generalizzato relativo a $\lambda$, e questi due spazi hanno entrambi dimensione $1$.[/nota] ;
• se tra queste soluzioni ne scegli due linearmente indipendenti, generi tutto lo spazio delle soluzioni (che, come è noto, ha dimensione $2$); in particolare tutte le soluzioni del sistema sono del tipo scelto in partenza.
In tutto ciò, probabilmente, non ti apparirà chiaro come abbiamo potuto sospettare che la scelta azzeccata fosse cercare soluzioni proprio di quel tipo. Qui, detto informalmente, è questione di come sono fatti gli autospazi, generalizzati e non, della tua matrice (dalle cui caratteristiche dipende la forma canonica di Jordan). Per i sistemi 2D, i casi da distinguere sono pochi: prova a fare due conti.
i concetti rimangono quelli).Mi pare di capire che il tuo libro faccia grossomodo un ragionamento del genere:
• prova a cercare soluzioni dell'equazione $x'=Ax$ del tipo che hai scritto tu;
• noti che $\varphi$ è soluzione se e solo se $c_1$ è un autovettore di $A$ e $c_2$ è un autovettore generalizzato di $A$ (fin qui è ciò che hai scritto tu);
• di conseguenza, esistono soluzioni di quel tipo di $x'=Ax$ se e solo se $A$ ammette un autovettore e un autovettore generalizzato;
• dato che la tua $A$ ammette un autovettore e un autovettore generalizzato, riesci a trovare tante (infinite) soluzioni del sistema al variare dei vettori $c_1$, $c_2$ [nota]Nota che $c_1$ e $c_2$ sono legati tra solo da una certa relazione lineare, per cui i parametri liberi saranno in numero minore delle $4$ coordinate di $c_1,c_2$. Precisamente: $c_2$ sta nell'autospazio relativo a $\lambda$, mentre $c_1$ sta nell'autospazio generalizzato relativo a $\lambda$, e questi due spazi hanno entrambi dimensione $1$.[/nota] ;
• se tra queste soluzioni ne scegli due linearmente indipendenti, generi tutto lo spazio delle soluzioni (che, come è noto, ha dimensione $2$); in particolare tutte le soluzioni del sistema sono del tipo scelto in partenza.
In tutto ciò, probabilmente, non ti apparirà chiaro come abbiamo potuto sospettare che la scelta azzeccata fosse cercare soluzioni proprio di quel tipo. Qui, detto informalmente, è questione di come sono fatti gli autospazi, generalizzati e non, della tua matrice (dalle cui caratteristiche dipende la forma canonica di Jordan). Per i sistemi 2D, i casi da distinguere sono pochi: prova a fare due conti.
Ok, adesso è tutto molto più chiaro, ti ringrazio tantissimo 
detta così in effetti suona semplice - soprattutto se paragonato a quel che avevo letto sopra - ma almeno mi ci ritrovo. Per quanto riguarda il perché le soluzioni sono di questo tipo in effetti era un problema che mi ero posto, senza reale successo: l'unica conclusione a cui ero giunto è un parallelo con le soluzioni generali delle equazioni differenziali di secondo grado, con l'aggiunta degli autovettori associati a ciascuna costante (il che ha senso, considerato che ogni sistema autonomo può essere espresso mediante eq. diff di 2° e viceversa). Ma appunto era una conclusione del tutto casereccia e decisamente poco accademica. In definitiva, grazie ancora per l'aiuto!
detta così in effetti suona semplice - soprattutto se paragonato a quel che avevo letto sopra - ma almeno mi ci ritrovo. Per quanto riguarda il perché le soluzioni sono di questo tipo in effetti era un problema che mi ero posto, senza reale successo: l'unica conclusione a cui ero giunto è un parallelo con le soluzioni generali delle equazioni differenziali di secondo grado, con l'aggiunta degli autovettori associati a ciascuna costante (il che ha senso, considerato che ogni sistema autonomo può essere espresso mediante eq. diff di 2° e viceversa). Ma appunto era una conclusione del tutto casereccia e decisamente poco accademica. In definitiva, grazie ancora per l'aiuto!
Prego 
L'idea, però, se ho capito cosa intendi, era proprio quella...
"Silence":
era una conclusione del tutto casereccia e decisamente poco accademica
L'idea, però, se ho capito cosa intendi, era proprio quella...
"Plepp":
Prego
[quote="Silence"]era una conclusione del tutto casereccia e decisamente poco accademica
L'idea, però, se ho capito cosa intendi, era proprio quella...
[/quote]Ah, che bella cosa la speranza...
Grazie!
Ma tanto l'importante è trovare la soluzione giusta. Che poi uno ci sia arrivato in modo casereccio o in modo elegante non importa. (Questo commento è sul libro di Schey di calcolo vettoriale e mi ha molto colpito).
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