Sistemi di eq differenziali (problema di cauchy)

[lore19901]

Ragazzi ho una domanda:
dato un problema di cauchy sappiamo che c'è un teorema che mi garantisce l'esistenza e unicità della soluzione il quale afferma che la soluzione esiste ed è unica se dato Y'=f(y,t) e Y(t0)=y0 ho che f(y,t) è una funzione continua e di classe C1rispetto alla variabile y. Giusto fin qui?
Ora se mi viene dato un problema di cauchy, magari con un equazione del 2ordine io per dimostrare tale teorema, qundi che la soluzione esiste ed è unica, devo prendere la funzione f(y',y,t) e far vedere che è continua e derivabile due volte? ma come faccio se ancora non conosco la soluzione y(t)?

Non mi è bene chiaro proprio nella pratica come devo impostare la dimostrazione.
Ad esempio ammettiamo che il problema sia questo:
Y''+Y'=max(pi-greco,t)
Y(0)=1
Y'(0)=0

allora se t>pi-greco prendo f(t,y)=t-Y e verifico che sia continua e derivabile;
se t

Cita

Segnala

---

Risposte

lore19901

23 gen 2013, 15:14

Ragazzi nessun aiuto?mm

Cita

Segnala

---

lore19901

24 gen 2013, 15:59

grazie mille per la considerazione...

Cita

Segnala

---

gugo82

25 gen 2013, 00:19

Prego.
Ricordantoti che:

il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta.

(regolamento, 3.4), ti propongo una possibile soluzione.

Il problema è:
\[\tag{P}
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (t) + y^\prime (t) = \max \{ \pi ,t\}\\
y(0)=1\\
y^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
e, con un metodo standard (i.e., con l'introduzione di una variabile ausiliaria \(z(t)\)), esso si riduce ad un problema per un sistema del primo ordine:
\[\tag{S}
\begin{cases}
y^\prime (t) =z(t)\\
z^\prime (t) =\max \{ \pi ,t \} - z(t)\\
y(0)=1\\
z(0)=0
\end{cases}
\]
Le EDO che figurano nel precedente sistema si riscrivono in forma vettoriale come:
\[
Y^\prime (t) = \underline{f}(t,Y(t))
\]
ove \(Y(t):=(y(t),z(t))\) e:
\[
\underline{f}(t,Y) = \underline{f}(t,y,z):= (z,\max \{ \pi, t\} - z)\; .
\]
Il teorema di esistenza ed unicità per i sistemi si applica se la funzione vettoriale \(\underline{f} (t,y,z)\) è continua e localmente lipschitziana rispetto alle variabili \(Y=(y,z)\), quindi possiamo andare a controllare se sono soddisfatte tali proprietà.
La continuità di \(\underline{f}\) è evidente, perché entrambe le sue componenti sono continue in \(\mathbb{R}^3\).
D'altra parte, \(\underline{f}\) è indipendente da \(y\) ed è lineare in \(z\), perciò essa è pure lipschitziana rispetto alle variabili \(Y=(y,z)\) uniformemente rispetto a \(t\); se si vuole vederlo esplicitamente, basta scrivere esplicitamente e maggiorare opportunamente il modulo del vettore \(\underline{f}(t,y_1,z_1)-\underline{f}(t,y_2,z_2)\) per fissato \(t\).

Conseguentemente il sistema (S) ha unica soluzione e, dato che esso è del tutto equivalente al problema (P), anche (P) ha unica soluzione.

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[lore19901]

Ragazzi nessun aiuto?mm

[lore19901]

grazie mille per la considerazione...

[gugo82]

Prego.
Ricordantoti che:

il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta.

(regolamento, 3.4), ti propongo una possibile soluzione.

Il problema è:
\[\tag{P}
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (t) + y^\prime (t) = \max \{ \pi ,t\}\\
y(0)=1\\
y^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
e, con un metodo standard (i.e., con l'introduzione di una variabile ausiliaria \(z(t)\)), esso si riduce ad un problema per un sistema del primo ordine:
\[\tag{S}
\begin{cases}
y^\prime (t) =z(t)\\
z^\prime (t) =\max \{ \pi ,t \} - z(t)\\
y(0)=1\\
z(0)=0
\end{cases}
\]
Le EDO che figurano nel precedente sistema si riscrivono in forma vettoriale come:
\[
Y^\prime (t) = \underline{f}(t,Y(t))
\]
ove \(Y(t):=(y(t),z(t))\) e:
\[
\underline{f}(t,Y) = \underline{f}(t,y,z):= (z,\max \{ \pi, t\} - z)\; .
\]
Il teorema di esistenza ed unicità per i sistemi si applica se la funzione vettoriale \(\underline{f} (t,y,z)\) è continua e localmente lipschitziana rispetto alle variabili \(Y=(y,z)\), quindi possiamo andare a controllare se sono soddisfatte tali proprietà.
La continuità di \(\underline{f}\) è evidente, perché entrambe le sue componenti sono continue in \(\mathbb{R}^3\).
D'altra parte, \(\underline{f}\) è indipendente da \(y\) ed è lineare in \(z\), perciò essa è pure lipschitziana rispetto alle variabili \(Y=(y,z)\) uniformemente rispetto a \(t\); se si vuole vederlo esplicitamente, basta scrivere esplicitamente e maggiorare opportunamente il modulo del vettore \(\underline{f}(t,y_1,z_1)-\underline{f}(t,y_2,z_2)\) per fissato \(t\).

Conseguentemente il sistema (S) ha unica soluzione e, dato che esso è del tutto equivalente al problema (P), anche (P) ha unica soluzione.