Sistemi autonomi

[Galager]

Ciao a tutti, sto studiando i sistemi autonomi e mi sono imbattuto in questo esempio ${(x'=-y),(y'=x):}$ il libro offre come soluzione immediata $\rho(cost,sint)$.
Inizialmente avevo provato a integrare ottendendo ${(x=-y^2/2),(y=x^2/2):}$ che risolto portava alle soluzioni $(0,0)$ e $(-2,2)$, ma hanno qualche significato? il secondo punto non risolve nemmeno il sistema differenziale di partenza..
Invece il libro si riconduce a studiare $y'=-x/y$ ottenendo $x^2+y^2=c$. Sembra aver diviso le due equazioni membro a membro ma un termine è sparito, perché?

[l'abatefarina]

$x'=-y rArr x''=-y'=-x$
$x''+x=0$ ha come soluzione generale $x(t)=c_1cost+c_2sint $
e quindi $y(t)=-x'=c_1sint+c_2cost$
ovviamente tra le soluzioni del sistema c'è anche il punto di equilibrio $(0,0)$
per quanto riguarda le soluzioni non costanti è immediato verificare che $x^2(t)+y^2(t)=c$ con $c>0$

[Bokonon]

"Galager":
Invece il libro si riconduce a studiare $y'=-x/y$ ottenendo $x^2+y^2=c$. Sembra aver diviso le due equazioni membro a membro ma un termine è sparito, perché?

$x'=dx/dt=-y$ e $y'=dy/dt=x$
$(y')/(x')=(dy/dt)/(dx/dt)=dy/dx=-x/y rArr ydy=-xdx rArr int ydy=-int xdx$
$rArr y^2=-x^2+c rArr x^2+y^2=c$

[gugo82]

Avevi provato ad integrare a casaccio...

Per curiosità: da dove stai studiando?