Sistema Trigonometrico
Buon giorno a tutti,
vorrei chiedervi un aiuto in merito al seguente sistema trigonometrico:
$ {: ( 2+1.41cos(a) = 2.35cos(b) + 0.98 ),( 1.41sen(a) = 2.35sen(b)-0.2 ) :} $
Le soluzioni dovrebbero essere le seguenti: a=0.785 rad b=0.536 rad
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma pur provando con tutti i metodi che ricordo (sostituzione, formule di prostaferesi, etc) non sono riuscita a risolvere il sistema.
Riuscireste a darmi una mano??
Ringraziandovi sin da ora, un saluto ed un augurio di una buona giornata a tutti!!!
vorrei chiedervi un aiuto in merito al seguente sistema trigonometrico:
$ {: ( 2+1.41cos(a) = 2.35cos(b) + 0.98 ),( 1.41sen(a) = 2.35sen(b)-0.2 ) :} $
Le soluzioni dovrebbero essere le seguenti: a=0.785 rad b=0.536 rad
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma pur provando con tutti i metodi che ricordo (sostituzione, formule di prostaferesi, etc) non sono riuscita a risolvere il sistema.
Riuscireste a darmi una mano??
Ringraziandovi sin da ora, un saluto ed un augurio di una buona giornata a tutti!!!
Risposte
Ciao , ti suggerirei di considerare gli angoli associati
ovvero, per esempio, usare la formula $sin(a)=cos(\frac{\pi}{2}-a)$
le trovi qui
http://progettomatematica.dm.unibo.it/T ... ormule.htm
e poi lavorare con le formule di addizione e sottrazione si seno e coseno.
fammi sapere se hai ancora bisogno di aiuto
ciao
ovvero, per esempio, usare la formula $sin(a)=cos(\frac{\pi}{2}-a)$
le trovi qui
http://progettomatematica.dm.unibo.it/T ... ormule.htm
e poi lavorare con le formule di addizione e sottrazione si seno e coseno.
fammi sapere se hai ancora bisogno di aiuto
ciao
Se riscrivi il sistema lasciando a primo membro nella 1a equazione $1.41*cos(a)$, elevi al quadrato le due equazioni e sommi membro a membro la prima con la seconda riesci ad eliminare $a$, perché a primo membro hai $1.41^2 * cos^2(a) + 1.41^2 * sen^2(a)= 1.41^2$. A secondo membro ti ritrovi fra gli altri termini $2.35^2 * cos^2(b) + 2.35^2 * sen^2(b)= 2.35^2$. L'equazione a cui arrivi è di 1o grado in $sen(b)$ e $cos(b)$, che si può risolvere con le parametriche. Dovrebbe essere $11985*cos(b) + 2350*sen(b) = 11537$.
La stessa cosa la puoi fare esplicitando rispetto a $2.35*cos(b)$ e $2.35*sen(b)$ le due equazioni. Se, quando sono in quella forma, le elevi al quadrato e le sommi membro a membro elimini $b$ e ottieni un'equazione di 1o grado in $sen(a)$ e $cos(a)$, che si può risolvere di nuovo con le parametriche.
La stessa cosa la puoi fare esplicitando rispetto a $2.35*cos(b)$ e $2.35*sen(b)$ le due equazioni. Se, quando sono in quella forma, le elevi al quadrato e le sommi membro a membro elimini $b$ e ottieni un'equazione di 1o grado in $sen(a)$ e $cos(a)$, che si può risolvere di nuovo con le parametriche.
vero, in effetti così è più semplice
In primis, grazie ad entrambi per le indicazioni datemi!
Ho provato a risolvere il sistema applicando la soluzione proposta da chiaraotta, ottenendo quanto segue:
Ho provato a risolvere il sistema applicando la soluzione proposta da chiaraotta, ottenendo quanto segue:
- [*:1vn58xkc]esplicitando 1.41 cos(a) nella 1° equazione ed elevandole entrambe al quadrato si ottiene: $ {:(1.41^2 cos^2(a)=2.53^2cos^2(b)+1.02^2-4.794cos(b) ),(1.41^2 sen^2(a)=2.35^2sen^2(b)+0.2^2-0.94sen(b) ) :} $[/*:m:1vn58xkc]
[*:1vn58xkc]andando ora ad eseguire la somma membro a membro e facendo i vari calcoli si ottiene che: $4.6148 = 4,794cos(b)+0.94sen(b)$[/*:m:1vn58xkc]
[*:1vn58xkc] a questo punto sono andata ad applicare le parametriche relative a seno e coseno, ottenendo così un'equazione di secondo grado del tipo: $9.4088t^2-1.88t-0.1792=0$[/*:m:1vn58xkc]
[*:1vn58xkc]quindi ho determinato il valore di $t$ e sapendo che, per le formule parametriche $t=tg(b/2)$, applicando la formula dell'ancotangente ho determinato il valore dell'angolo $b$, ossia: $b=arctg(2*0.270)=0.495 rad$ [/*:m:1vn58xkc]
[*:1vn58xkc]noto il valore dell'angolo $b$, ho sostituito in una delle due equazioni di partenza, riuscendo così a determinare anche il valore dell'angolo $a$; in particolare ho calcolato: $a= arccos((2.35(cos(0.495))+0.98-2)/1.41) =0.733 rad$[/*:m:1vn58xkc][/list:u:1vn58xkc]
Le soluzioni da me ottenute sono leggermente diverse rispetto a quelle fornite dal docente, vorrei capire se tale differenza é data solo dalle classiche approssimazioni che si fanno nello svolgere i calcoli oppure se ho sbagliato qualcosa...
Tra l'altro ho osservato che, se sostituisco il valore dell'angolo $b$ nella 2° equazione invece che nella 1°, ricorrendo -in questo caso- alla funzione $ arcsin((2.35(sen(0.495))-0.2)/1.41) $ ottengo un valore dell'angolo $a$ ancora differente ($a=0.707 rad$) ...
... il che mi rende ancora più dubbiosa sulla correttezza della mia soluzione!!Ringraziandovi ancora, rimango in attesa di una vostra valutazione su quanto da me svolto... grazie davvero & buona giornata a tutti!!!
"Deby85":
....
quindi ho determinato il valore di $t$ e sapendo che, per le formule parametriche $t=tg(b/2)$, applicando la formula dell'ancotangente ho determinato il valore dell'angolo $b$, ossia: $b=arctg(2*0.270)=0.495 rad$
Una cosa intanto .... mi sembra che, se $t=tg(b/2)$, allora $b = 2* arctg(t)$ e non $b=arctg(2*t)$ ...
Comunque dall'equazione $9.4088*t^2 - 1.88*t - 0.1792 = 0$ a me risulta $t = 0.2702804777$, da cui $beta = 2 * arctg(0.2702804777) = 0.5279464723$.
Questi sono i miei conti (parziali) ...
Ponendo $a= 1.41$, $b = 2.35$, $c = 0.98 - 2$, $d = -0.2$, il sistema diventa $\{(a*COS(alpha) = b*COS(beta) + c),(a*SIN(alpha) = b*SIN(beta) + d):}$.
Quadrando e sommando come avevo indicato ottengo $\{(2*b*d*SIN(beta) + 2*b*c*COS(beta) + b^2 + c^2 + d^2 - a^2 = 0),(2*a*d*SIN(alpha) + 2*a*c*COS(alpha) + b^2 - c^2 - d^2 - a^2 = 0):}$
Fin qua ci troviamo?
Le tue soluzioni devono stare in un qualche intervallo?
Derive dà queste soluzioni ($>0$) delle equazioni lineari ottenute: $alpha = 0.7722612400$, $beta = 0.5279464725$.
"chiaraotta":
....
Una cosa intanto .... mi sembra che, se $t=tg(b/2)$, allora $b = 2* arctg(t)$ e non $b=arctg(2*t)$ ...
Urka..é vero! Ora il valore di $beta$ risulta anche a me pari a 0.527 e, di conseguenza, anche il valore di $alpha$ mi risulta esattamente come il tuo!!!
Le soluzioni che devo trovare non hanno un particolare intervallo di riferimento (se non che devono essere positive), in quanto questo sistema è stato ottenuto dall'analisi cinematica di un problema di meccanica...
A questo punto credo proprio che la differenza tra i valori da noi ottenuti e quelli forniti dal prof. sia data solo dalle possibili approssimazioni effettuate...tu cosa ne pensi?
Oppure, continuando i passaggi ....
Lavorando sulla 1a equazione $2*b*d*SIN(beta) + 2*b*c*COS(beta) + b^2 + c^2 + d^2 - a^2 = 0$ e sostituendo con le parametriche risulta:
$2*b*d*2*t + 2*b*c*(1 - t^2) + (b^2 + c^2 + d^2 - a^2)*(1 + t^2) = 0$
La soluzione ($>0$) è $t = (9*sqrt(49569)+1175)/11761$ e $beta = 2*arctg((9*sqrt(49569)+1175)/11761) ~= 0.5279464725$.
Invece sulla seconda $2*a*d*SIN(alpha) + 2*a*c*COS(alpha) + b^2 - c^2 - d^2 - a^2 = 0$, sostituendo con le parametriche risulta:
$2*a*d*2*t + 2*a*c*(1-t^2) + (b^2 - c^2 - d^2 - a^2)*(1+t^2) = 0$
La soluzione ($>0$) è $t = (3*sqrt(49569)+235)/2221$ e $alpha = 2*arctg((3*sqrt(49569)+235)/2221) ~= 0.7722612400$
Mi sembra che tutto torni ....
Un modo ulteriore di verificarlo è quello di sostituire gli angoli trovati così e quelli del prof nelle equazioni di partenza, magari dopo aver portato tutto a primo membro. La differenza da $0$ che si ottiene sostituendo le due coppie di soluzioni è una misura della loro precisione ....
Con i risultati calcolati come sopra Derive dà:
$1.41*SIN(0.77226124) - 2.35*SIN(0.5279464725) + 0.2 = - 4.871056482·10^(-11)$
$2 + 1.41*COS(0.77226124) - 2.35*COS(0.5279464725) - 0.98 = 0$
Con quelli del prof
$1.41*SIN(0.785) - 2.35*SIN(0.536) + 0.2 = -0.003523969177$
$2 + 1.41*COS(0.785) - 2.35*COS(0.536) - 0.98 = -0.003014682210$
Vinciamo noi alla grande ....
Lavorando sulla 1a equazione $2*b*d*SIN(beta) + 2*b*c*COS(beta) + b^2 + c^2 + d^2 - a^2 = 0$ e sostituendo con le parametriche risulta:
$2*b*d*2*t + 2*b*c*(1 - t^2) + (b^2 + c^2 + d^2 - a^2)*(1 + t^2) = 0$
La soluzione ($>0$) è $t = (9*sqrt(49569)+1175)/11761$ e $beta = 2*arctg((9*sqrt(49569)+1175)/11761) ~= 0.5279464725$.
Invece sulla seconda $2*a*d*SIN(alpha) + 2*a*c*COS(alpha) + b^2 - c^2 - d^2 - a^2 = 0$, sostituendo con le parametriche risulta:
$2*a*d*2*t + 2*a*c*(1-t^2) + (b^2 - c^2 - d^2 - a^2)*(1+t^2) = 0$
La soluzione ($>0$) è $t = (3*sqrt(49569)+235)/2221$ e $alpha = 2*arctg((3*sqrt(49569)+235)/2221) ~= 0.7722612400$
Mi sembra che tutto torni ....
Un modo ulteriore di verificarlo è quello di sostituire gli angoli trovati così e quelli del prof nelle equazioni di partenza, magari dopo aver portato tutto a primo membro. La differenza da $0$ che si ottiene sostituendo le due coppie di soluzioni è una misura della loro precisione ....
Con i risultati calcolati come sopra Derive dà:
$1.41*SIN(0.77226124) - 2.35*SIN(0.5279464725) + 0.2 = - 4.871056482·10^(-11)$
$2 + 1.41*COS(0.77226124) - 2.35*COS(0.5279464725) - 0.98 = 0$
Con quelli del prof
$1.41*SIN(0.785) - 2.35*SIN(0.536) + 0.2 = -0.003523969177$
$2 + 1.41*COS(0.785) - 2.35*COS(0.536) - 0.98 = -0.003014682210$
Vinciamo noi alla grande ....
Ottimo!!! Sei stata gentilissima!!! Grazie mille davvero & Buona Giornata!!!
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