Sistema per lo studio dei punti critici di una funzione

[marthy_92]

Salve a tutti. Ho dei problemi con questo ese. Nel cercare i punti critici di questa funzione
$ f(x,y) = |y| (1-x^2-y^2) $

ho calcolato le derivate e le ho messe a sistema uguagliandole a zero

\( \begin{cases} f ' x = -2x|y| =0 \\ f ' y (- (|y|/y)(-1+x^2+3y^2)=0 \end{cases} \)

Ho trovato questi 4 punti critici

\( A = ( 0, (\surd 3)/3), B = ( 0 , -(\surd 3)/3), C = (1, 0) , D =(-1,0) \)

Ho dei dubbi riguardo al procedimento. E' giusto studiare i due sistemi separandoli in base al segno di y?

Cioè così
$ y > 0 $ \( \begin{cases} -2xy=0 \\ 1-x^2-3y^2=0 \end{cases} \)

$ y < 0 $ \( \begin{cases} 2xy=0 \\ -1+x^2+3y^2=0 \end{cases} \)

Ora per esempio nel primo caso per y >0 dalla prima equazione posso concludere che x =0 ? e quindi ricavare
$ 1 - 3 y ^2 = 0 $ ?

[gio73]

perchè escludi tutto l'asse x, cioè $y=0$?
quando sdoppi il valore assoluto dovresti porre
$y>=0$ e $y<0$, isn't it?

"Marthy_92":
Cioè così
$ y > 0 $ \( \begin{cases} -2xy=0 \\ 1-x^2-3y^2=0 \end{cases} \)
$ y < 0 $ \( \begin{cases} 2xy=0 \\ -1+x^2+3y^2=0 \end{cases} \)
Ora per esempio nel primo caso per y >0 dalla prima equazione posso concludere che x =0 ? e quindi ricavare
$ 1 - 3 y ^2 = 0 $ ?

Sì, direi di sì. Personalmente ho disegnato l'ellisse e considerato le intersezioni con gli assi.

[marthy_92]

ok gio73. Non ho considerato l'asse x (y=0) perchè y nella derivata prima rispetto alla variabile y compare al denominatore
:/ (|y| /y ). Cosa ne pensi?

[gio73]

Capisco
Penso che la nostra funzione potrebbe non essere differenziabile lungo l'asse x, magari presenta una "spigolatura".
Però i punti critici $C$ e $D$ che hai indicato appartengono proprio all'asse x.