Sistema parametrico

[bioeddie]

Buonasera a tutti. Un esercizio mi chiede: dato il sistema $ { ( 2kx-y -z=-1 ),( x -2ky +z=-2k ),( x +y -2kz=4k^2 ):} $
dire quante soluzioni ammette al variare del parametro reale K. Svolgendolo ho trovato determinante e ranghi, sostituendo i valori delle soluzioni al sistema. ho dunque trovato:
per $ kappa!= 1 $ il rango R è=3
per $ kappa= 1 $ R=2
per $ kappa!= -1/2 $ R=3
per $ kappa= -1/2 $ R=1
le soluzioni sono: $ \forall k\varepsilon R -{-1/2,1} $ il sistema ha una ed una sola soluzione (credo perchè sono i valori che annullano il sistema, quindi unica soluzione =0)
per $ kappa=-1/2 $ il sistema ha $ oo^2 $ soluzioni
per $ kappa=1 $ il sistema è impossibile.
Non riesco a capire come ricavarmi queste soluzioni (tranne la prima se ho capito bene) avendo i valori ed i rispettivi ranghi. So che se il rango per k=1 è diverso dal rango della matrice incompleta che dovrebbe essere 3, il sistema è impossibile. Il problema è che mi esce diverso anche per k=-1/2 ma in questo caso non è impossibile e non riesco a capire perchè. Chiedo aiuto a voi, ringrazio anticipatamente tutti.

[adaBTTLS1]

con $k= -1/2$ vengono tre equazioni identiche ($x+y+z=1$): prova a sostituire.
non capisco poi che cosa intendi per soluzione =0 nel caso $k in RR - {-1/2;1}$: il sistema non è omogeneo.