Sistema ODE a 3 equazioni.
Buongiorno a tutti.
Vi chiedo un aiuto su questo esercizio.
$X'=AX$
Devo determinare le soluzioni di questo sistema di ODE
Con $A=( ( 1 , 3 , 2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 1 ) ) $.
Ora, ho calcolato gli autovalori della matrice e ottengo $lambda_{1,2,3}=1$, cioè $lambda=1$ con $mu=3$.
Ho calcolato anche gli autovettori, ovvero un autovettore più due generalizati e ve li riporto:
$u=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $, $v=( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ) ) $, $w=( ( 0 ),( 1/4 ),( -3/8 ) ) $.
Mi permetto di omettere il calcolo esplicito in quanto non pertinente alla mia domanda che è la seguente:
Conosco bene la forma delle soluzioni di un sistema a due equazioni con un autovalore a molteplicità algebrica pari a $2$:
$( ( x(t) ),( y(t) ) ) =c_1e^{\lambda t}\mathbb u+c_2e^{\lambda t}[t\mathbb u+\mathbb w]$.
Con $\mathbb w$ autovettore generalizzato.
Mi sto chiedendo quale sia una possibile generalizzazione di questa formula per il mio specifico caso in una dimensione in più. Mi aspetto un termine $t^{2}$ ma non sono sicuro di come arrivarci e non la ho trovata in nessuna risorsa che ho a disposizione. Ringrazio in anticipo chiunque mi vorrà aiutare
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Vi chiedo un aiuto su questo esercizio.
$X'=AX$
Devo determinare le soluzioni di questo sistema di ODE
Con $A=( ( 1 , 3 , 2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 1 ) ) $.
Ora, ho calcolato gli autovalori della matrice e ottengo $lambda_{1,2,3}=1$, cioè $lambda=1$ con $mu=3$.
Ho calcolato anche gli autovettori, ovvero un autovettore più due generalizati e ve li riporto:
$u=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $, $v=( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ) ) $, $w=( ( 0 ),( 1/4 ),( -3/8 ) ) $.
Mi permetto di omettere il calcolo esplicito in quanto non pertinente alla mia domanda che è la seguente:
Conosco bene la forma delle soluzioni di un sistema a due equazioni con un autovalore a molteplicità algebrica pari a $2$:
$( ( x(t) ),( y(t) ) ) =c_1e^{\lambda t}\mathbb u+c_2e^{\lambda t}[t\mathbb u+\mathbb w]$.
Con $\mathbb w$ autovettore generalizzato.
Mi sto chiedendo quale sia una possibile generalizzazione di questa formula per il mio specifico caso in una dimensione in più. Mi aspetto un termine $t^{2}$ ma non sono sicuro di come arrivarci e non la ho trovata in nessuna risorsa che ho a disposizione. Ringrazio in anticipo chiunque mi vorrà aiutare
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Risposte
Anche se con notazioni diverse:
$vec(v_1)=((1),(0),(0)) ^^ vec(v_2)=((0),(0),(1/2)) ^^ vec(v_3)=((0),(1/4),(-3/8)) rarr$
$rarr ((x),(y),(z))=c_1e^t((1),(0),(0))+c_2e^t[t((1),(0),(0))+((0),(0),(1/2))]+c_3e^t[1/2t^2((1),(0),(0))+t((0),(0),(1/2))+((0),(1/4),(-3/8))]$
"anonymous_0b37e9":
Anche se con notazioni diverse:
$vec(v_1)=((1),(0),(0)) ^^ vec(v_2)=((0),(0),(1/2)) ^^ vec(v_3)=((0),(1/4),(-3/8)) rarr$
$rarr ((x),(y),(z))=c_1e^t((1),(0),(0))+c_2e^t[t((1),(0),(0))+((0),(0),(1/2))]+c_3e^t[1/2t^2((1),(0),(0))+t((0),(0),(1/2))+((0),(1/4),(-3/8))]$
Perfetto, garzie mille per la risposta!
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[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
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