Sistema non omogeneo
Mi viene data una matrice inversa 4x4 [tex]A^(-1)[/tex] (che non vi ricopio perchè non so come fare le matrici col LaTeX, penso che non sia fondamentale per risolvere) e mi si chiede se il sistema [tex]AX=(1 -1 2 -2)^t[/tex]:
a) ammette infinite soluzioni
b) è impossibile
c) ammette una ed una sola sol. uguale a [tex]x=-1 y=0 z=-2 z=0[/tex]
d) ammette una ed una sola sol. uguale a[tex]x=-4 y=8 z=0 z=3[/tex]
e) nessuna delle altre risposte è corretta
Se non sbaglio sia A che B non possono essere, il r(A)=4 poichè ne esiste l'inversa, e così il [tex]r(A|B)=4[/tex] (diventa una matrice 4x5, che non può che avere rango 4) e quindi il sistema ammette una sola soluzione). E' corretto? O è possibile che l'aggiunta di una colonna abbassi il rango di una matrice?
La c e la d non hanno senso (a meno che la seconda zeta non sia un errore...e volessero scrivere t?!)
E quindi risponderei e).
L'alternativa è che data la matrice inversa e il vettore dei termini noti B (X non mi viene dato invece) mi devo calcolare A o applicando Gauss-Jordan orlando la matrice a sinistra con una matrice [tex]I_4[/tex] oppure facendo [tex][A^{-1}]^{-1}[/tex] che però è un lavoro improbo..
E' tutto qui o mi sto perdendo qualcosa?
a) ammette infinite soluzioni
b) è impossibile
c) ammette una ed una sola sol. uguale a [tex]x=-1 y=0 z=-2 z=0[/tex]
d) ammette una ed una sola sol. uguale a[tex]x=-4 y=8 z=0 z=3[/tex]
e) nessuna delle altre risposte è corretta
Se non sbaglio sia A che B non possono essere, il r(A)=4 poichè ne esiste l'inversa, e così il [tex]r(A|B)=4[/tex] (diventa una matrice 4x5, che non può che avere rango 4) e quindi il sistema ammette una sola soluzione). E' corretto? O è possibile che l'aggiunta di una colonna abbassi il rango di una matrice?
La c e la d non hanno senso (a meno che la seconda zeta non sia un errore...e volessero scrivere t?!)
E quindi risponderei e).
L'alternativa è che data la matrice inversa e il vettore dei termini noti B (X non mi viene dato invece) mi devo calcolare A o applicando Gauss-Jordan orlando la matrice a sinistra con una matrice [tex]I_4[/tex] oppure facendo [tex][A^{-1}]^{-1}[/tex] che però è un lavoro improbo..
E' tutto qui o mi sto perdendo qualcosa?
Risposte
L'aggiunta di una riga/colonna non può diminuire il rango della matrice, al più l'aumenta.
Paola
Paola
Ciao!
Tralasciando il piccolo errore nella scelta della sezione
(cose da nulla che capitano,e solitamente si diradano dopo il primo spostamento dei moderatori!!),
ma non quelli nell'utilizzo del codice
(più gravi perchè rendono meno sicura la comprensione delle tue perplessità..),
t'invito a notare due cose:
1)$A^(-1)[A^(-1)]^(-1)=^text{def}I_n=^text{def}A^(-1)A$,
e dunque qualche dubbio su chi sia quel $[A^(-1)]^(-1)$,
senza bisogno di passare da conti potenzialmente omicidi con questo caldo,mi verrebbe:
a te il compito,se vorrai,di formalizzare la risposta meglio di come ho fatto io nella traccia lasciata..
2)Ma dato che A è invertibile e bella pronta sul paitto,
non ti conviene moltiplicare a sx per $A^(-1)$ ambo i membri della tua equazione matriciale?
Isoleresti la X e sarebbero solo quattro conti!!
Saluti dal web.
Tralasciando il piccolo errore nella scelta della sezione
(cose da nulla che capitano,e solitamente si diradano dopo il primo spostamento dei moderatori!!),
ma non quelli nell'utilizzo del codice
(più gravi perchè rendono meno sicura la comprensione delle tue perplessità..),
t'invito a notare due cose:
1)$A^(-1)[A^(-1)]^(-1)=^text{def}I_n=^text{def}A^(-1)A$,
e dunque qualche dubbio su chi sia quel $[A^(-1)]^(-1)$,
senza bisogno di passare da conti potenzialmente omicidi con questo caldo,mi verrebbe:
a te il compito,se vorrai,di formalizzare la risposta meglio di come ho fatto io nella traccia lasciata..
2)Ma dato che A è invertibile e bella pronta sul paitto,
non ti conviene moltiplicare a sx per $A^(-1)$ ambo i membri della tua equazione matriciale?
Isoleresti la X e sarebbero solo quattro conti!!
Saluti dal web.
Ok, ricevuto, le matrici vanno nella sezione di algebra lineare^^
1)Con $ [A^{-1}]^{-1}=A$ intendevo ricavarmi semplicemente la matrice A originaria e poi risolvere il sistema, l'altro modo che proponevo era di ricostruire A via Gauss-Jordan all'indietro, che richiede l'accostamento a $I_4$
2) Ed in effetti, questo è proprio quello che va fatto. Facendolo ottengo il vettore delle soluzioni e la risposta corretta è la D.
Stranamente in due libri su tre di matematica che ho solo uno fa notare questa, in realtà ovvia(!!!),possibilità.
Sempre grazie per il supporto^^
1)Con $ [A^{-1}]^{-1}=A$ intendevo ricavarmi semplicemente la matrice A originaria e poi risolvere il sistema, l'altro modo che proponevo era di ricostruire A via Gauss-Jordan all'indietro, che richiede l'accostamento a $I_4$
2) Ed in effetti, questo è proprio quello che va fatto. Facendolo ottengo il vettore delle soluzioni e la risposta corretta è la D.
Stranamente in due libri su tre di matematica che ho solo uno fa notare questa, in realtà ovvia(!!!),possibilità.
Sempre grazie per il supporto^^
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