Sistema lineare di equazioni differenziali

[5mrkv]

Edit: Risolto, ho invertito il primo autovettore. Rimane la domanda in fondo.

\[
\begin{bmatrix}
\dot{n}_{1} \\
\dot{n}_{2} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-a & 0 \\
a & -b \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
n_{1} \\
n_{2} \\
\end{bmatrix}
\
\
\
h=
\begin{bmatrix}
n_{1}(0) \\
n_{2}(0) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
n \\
0 \\
\end{bmatrix}
\]
Quindi ho gli autovalori \(\lambda_{1,2}=-a,-b\) con autovettori \( h_{1}=
\begin{bmatrix}
a \\
b-a \\
\end{bmatrix}
\) e \( h_{2}=
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\).

\[
\begin{split}
s(t)&=c_{1}h_{1}e^{-at}+c_{2}h_{2}e^{-bt} \\
s(0)&=c_{1}h_{1}+c_{2}h_{2}=h \\
c_{1}a&=n \\
c_{1}(b-a)+c_{2}&=0 \\
c_{1}&=n/a \\
c_{2}&=(a-b)n/a \\
\end{split}
\]
Quindi
\[
\begin{split}
n_{1}(t)&=ne^{-at} \\
n_{2}(t)&=(e^{-bt}-e^{-at})(a-b)n/a \\
\end{split}
\]

Dato che l'equazione in \(n_{1}(t)\) si risolve subito, c'è un modo per risolvere la seconda senza calcolare gli autovalori?

[ciampax]

Certo: essendo $\dot{n}_1=-a n_1$ ovviamente $n_1(t)=c_1 e^{-at}$. Sostituendo nella seconda si ha

$\dot{n}_2=ac_1 e^{-at}-bn_2$

che è una equazione lineare facilmente risolvibile.

[5mrkv]

Risolvendo prima l'omogenea associata e calcolando poi la soluzione peri termini aggiuntivi? Se è così ok altrimenti non ricordo molto.

[ciampax]

Bé sì, o così:

$\dot{n}_2+bn_2=ac_1 e^{-at}$ moltiplicando ambo i membri per $e^{bt}$
$[n_2\cdot e^{bt}]'=ac_1 e^{(b-a)t}$

da cui integrando

$n_2\cdot e^{bt}={ac_1}/{b-a}\cdot e^{(b-a)t}+c_2$

e infine

$n_2(t)={ac_1}/{b-a}\cdot e^{-at}+c_2 e^{-bt}$

da cui poi calcoli le costanti sapendo che

$n=c_1\ 0={ac_1}/{b-a}+c_2$ e quindi $c_1=n,\ c_2=-{an}/{b-a}$

[5mrkv]

Ahah bella, grazie